Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2017.2, Questão Q01a

Calcule as integrais abaixo:

(a) x - 2 x 2 - 4 x + 3 d x

Passo 1

Rearrumar a integral

Eu não sei você mas quando eu vejo polinômio sobre polinômio já da arrepios. Mas relaxa que tiramos de letra. O primeiro passo é tentar reescrever esse polinômio para algo que a gente conheça bem. Lembra dessa integral aqui?

1 x d x = ln x + C

Dá uma olhada no denominador da integral do enunciado: é um polinômio de segundo grau! Sendo assim, vamos tentar reescrever ele de forma que possamos usar a integral acima ou algo próximo, beleza? Então partiu:

x 2 - 4 x + 3 = x - r 1 x - r 2

r = 4 ± 4 2 - 4.1 . 3 2

r = 4 ± 2 2

r 1 = 3         e         r 2 = 1

A integral vai ficar então:

x - 2 x - 3 x - 1 d x

E por frações parciais, tiramos:

x - 2 x - 3 x - 1 d x =   A x - 3 d x + B x - 1 d x

Opa, chegamos em alguma coisa não é mesmo? Afinal, essas duas integrais estão beeem mais parecidas com a integral de 1 / x do que a integral do enunciado não é mesmo? Chegamos então à

x - 2 x - 3 x - 1 d x =   A ln x - 3 + B ln x - 1 + C

Falta só achar o A e o B e matamos a questão!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achar A e B

Pra achar A e B, vamos lembrar que:

x - 2 x - 3 x - 1 =   A x - 3 +   B x - 1

Deixando o denominador igual dos dois lados, a gente chega à:

x - 2 x - 3 x - 1 =   A x - A + B x - 3 B x - 3 x - 1

1 x + - 2 = A + B x + - A - 3 B

Agora ta tranquilo da gente ver quem vamos ter que igualar pra montar nosso sistema de equações, não? Dá uma olhada:

A + B = 1 - A - 3 B = - 2

Se somarmos as duas equações, ficamos com

- 2 B =   - 1

B = 1 2

E sabendo B, tiramos A:

A = 1 2

Resposta

x - 2 x - 3 x - 1 d x = 1 2 ln x - 3 + 1 2 ln x - 1 + C

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