Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2017.1, Questão 4a

Calcule a integral indefinida a seguir:

1 x 2 - x - 2 d x

Passo 1

Se você tentar aplicar alguma substituição simples nessa integral, não vai dar pra resolver. Como se trata de uma divisão de polinômios em que o grau do polinômio do numerador é menor que o do denominador, o método que vamos usar é integração por frações parciais. Se calcularmos as raízes do denominador teremos: x = 1 ± 1 + 8 2 = 1 2 ± 3 2 = 2   o u - 1

Então:

1 x 2 - x - 2 = 1 x - 2 x + 1

Agora vamos escrever essa fração em forma de soma:

A x - 2 + B x + 1

Fazendo MMC temos

A x + 1 + B ( x - 2 ) x - 2 x + 1 = x A + B + A - 2 B x - 2 x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que

x A + B + A - 2 B x - 2 x + 1 = 1 ( x - 1 - 3 ) ( x - 1 + 3 )

E a partir dessa relação obtemos o sistema abaixo

A + B = 0 A - 2 B = 1

Subtraindo as equações:

3 B = - 1

B = - 1 3

A = - B = 1 3

Passo 3

Substituindo os valores de A e B :

1 x 2 - x - 2 d x = 1 3 x - 2 - 1 3 x + 1 d x = 1 3 x - 2 d x - 1 3 x + 1 d x

Sabemos que

  • 1 3 x - 2 = ln x - 2 3 + c
  • 1 3 x + 1 = ln x + 1 3 + c

Logo

1 x 2 - x - 2 d x = ln x - 2 3 - ln x + 1 3 + C

Resposta

ln x - 2 3 - ln x + 1 3 + C

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