Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2014.2, Questão 1 b_2

b Calcule as seguintes integrais:

b 2   x - 4 x 2 + 5 x + 6 d x

Passo 1

Polinômio sobre polinômio, cara clássica da integral por frações parciais. Vamos abrir esse polinômio do denominador para escrever esse quociente como uma soma de quocientes mais simples de serem integrados:

x 2 + 5 x + 6 B h a s k a r a ( x + 2 ) ( x + 3 )

Com isso, por frações parciais, ficamos assim:

x - 4 x 2 + 5 x + 6 = A x + 2 + B x + 3

x - 4 x 2 + 5 x + 6 = A x + 3 + B x + 2 x 2 + 5 x + 6

1 x + - 4 x 2 + 5 x + 6 = A + B x + 3 A + 2 B x 2 + 5 x + 6

Aí sobra um sistema para ser resolvido com a igualdade dos coeficientes de potências de mesmo grau de x de cada lado, algo com essa cara:

A + B = 1                 3 A + 2 B = - 4

A = - 6   ; B = 7

Olha como fica,

x - 4 x 2 + 5 x + 6 = A x + 2 + B x + 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Com isso, é só voltar para a integral original e mandar ver na integração.

x - 4 x 2 + 5 x + 6 d x = - 6 x + 2 d x + 7 x + 3 d x

= - 6 ln x + 2 + 7 ln x + 3 + C

Resposta

x - 4 x 2 + 5 x + 6 d x = - 6 ln x + 2 + 7 ln x + 3 + C

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