Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

USP - Cálculo 1 - P3 2009 - 2 a

Calcule as seguintes integrais:

a   d x x + 1 x + 5

Passo 1

Ok, temos uma integral indefinida para resolver. De cara nós temos que dar uma mudada nessa cara do termo porque repara que aquele x + 5 ali tanto dando uma complicada na resolução. Vou tentar substituí-lo para ver se melhora a cara da integral:

u = x + 5 d u = d x 2 x + 5

Acontece que na função nós não encontramos um termo perfeitamente igual ao d u que encontramos, para isso, fazemos a seguinte aprimorada:

d u = d x 2 x + 5 d x = 2 d u x + 5

Como u =   x + 5 :

d x = 2 u d u

Agora, o x + 1 em função de u ficaria assim:

u = x + 5 x + 5 = u 2

x + 1 = u 2 - 4

Agora vamos substituir:

d x x + 1 x + 5 = 2 u d u u 2 - 4 u

= 2 d u u 2 - 4

= 2 d u u + 2 u - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já demos uma melhorada no vizu dessa integral, vemos que ela parece muito que vai sair por frações parciais, né não? E olha que beleza: o polinônio do denominador já está fatorado: ele está fatorado em um produto de dois termos lineares distintos. Esse aí é moleza de desmembrar em frações parciais:

1 u + 2 u - 2 = A u + 2 + B u - 2

1 u + 2 u - 2 = A u - 2 +   B ( u + 2 ) u + 2 u - 2

1 = A u - 2 +   B ( u + 2 )

Lembrando que, nesse caso, como só temos termos lineares, podemos utilizar aquele macetinho esperto de substituir x pelas raízes.

Para x = 2 :

1 = A   2 - 2 +   B ( 2 + 2 )

B = 1 4

Para x = - 2 :

1 = A - 2 - 2 +   B ( 2 - 2 + 2 )

A = - 1 4

Passo 3

Agora substituímos as constantes para integrar:

2 d u u + 2 u - 2 = 2 - 1 4 d u u + 2 + 2 1 4 d u u - 2

= 2 . ( 1 4 ) - d u u + 2 + d u u - 2

= 1 2 - ln | u + 2 | + ln | u - 2 | +   C 1

Utilizando as propriedades de logaritmo, temos:

= 1 2 ln u - 2 u + 2 + C 1

Passo 4

Mas lembra que tínhamos feito uma substituição antes. A integral original é em x e não em u , então temos que voltar para x :

u = x + 5 . Então, finalmente, a resposta será:

= 1 2 ln x + 5 - 2 x + 5 + 2 + C

Nem pensar em esquecer a constante, hein?

Resposta

d x x + 1 x + 5 = 1 2 ln x + 5 - 2 x + 5 + 2 + C

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