Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

USP, Cálculo 1, P3 - 2009, Questão 2 a

Calcule as seguintes integrais:

a   d x x + 1 x + 5

Passo 1

Ok, para resolver esse cara nós temos que dar uma mudada nessa cara do termo. Repara que aquele x + 5 ali dá uma complicada na resolução. Vou tentar substituí-lo para ver se melhora a cara da integral:

u = x + 5 d u = d x 2 x + 5

Acontece que na função nós não encontramos um termo perfeitamente igual ao d u que encontramos, para isso, fazemos a seguinte aprimorada:

d u = d x 2 x + 5 d x = 2 d u x + 5

d x = 2 u d u

Como u = x + 5 podemos dar essa adaptada. Agora, o x + 1 em função de u ficaria assim:

x + 5 = u 2

x + 1 = u 2 - 4

Agora vamos substituir:

d x x + 1 x + 5 = 2 u d u u 2 - 4 u

= 2 d u u 2 - 4

= 2 d u u + 2 u - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer frações parciais com esse termo agora:

1 u + 2 u - 2 = A u + 2 + B u - 2

0 u + 1 u + 2 u - 2 = A + B u + ( - 2 A + 2 B ) u + 2 u - 2

Ficamos com o sistema para resolver:

A + B = 0 2 - A + B = 1

A + B = 0 - A + B = 1 2

2 B = 1 2 B = 1 4

A = - 1 4

Assim, ficamos com a seguinte integral:

2 d u u + 2 u - 2 = 2 - 1 4 d u u + 2 + 2 1 4 d u u - 2

= 1 2 - d u u + 2 + d u u - 2

= 1 2 - ln u + 2 + ln u - 2

= 1 2 ln u - 2 u + 2

= ln u - 2 u + 2 + C

Ora, mas u = x + 5 . Então, finalmente, a resposta será:

ln x + 5 - 2 x + 5 + 2 + C

Resposta

d x x + 1 x + 5 = ln x + 5 - 2 x + 5 + 2 + C

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