Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

USP, Cálculo 1, P-SUB - 2015, Questão 1 b

Calcule as seguintes integrais:

b   arctg 7 x x 3 d x

Passo 1

Como a gente trabalha aqui com duas funções bem diferentes, o arco-tangente e o polinômio, vamos usar a integração por Partes. Pela regrinha do LIATE na nossa teoria a gente deve escolher o arctg 7 x como nosso u :

u = arctg 7 x d u = 7 x ' 1 + 7 x 2 = 7 d x 1 + 49 x 2

d v = d x x 3 v = - 1 2 x 2

arctg 7 x x 3 d x = arctg 7 x - 1 2 x 2 - - 1 2 x 2 7 d x 1 + 49 x 2

= - arctg 7 x 2 x 2 + 7 2 d x x 2 1 + 49 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nessa integral que sobrou temos uma divisão de polinômios, então vamos de frações parciais:

1 x 2 1 + 49 x 2 = A x + B x 2 + C x + D 1 + 49 x 2

1 x 2 1 + 49 x 2 = A x 1 + 49 x 2 + B 1 + 49 x 2 + C x + D x 2 2 x 2 1 + 49 x 2

0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 1 x 2 1 + 49 x 2 = 49 A + C x 3 + 49 B + D + A x + B 2 x 2 1 + 49 x 2

Agora resolvemos o sistema gerado igualando as potências de x com mesmo grau:

49 A + C = 0 49 B + D = 0 A = 0 B = 1

A = 0 ; B = 1 ; C = 0 ; D = - 49

d x x 2 1 + 49 x 2 = d x x 2 - 49 d x 1 + 49 x 2

Passo 3

Para a segunda integral fazemos uma substituição u = 7 x :

= - 1 x - 7 d u 1 + u 2 = - 1 x - 7 arctg u

= - 1 x - 7 arctg 7 x

Assim, o termo final será:

arctg 7 x x 3 d x = - arctg 7 x 2 x 2 + 7 2 - 1 x - 7 arctg 7 x

= - arctg 7 x 1 2 x 2 + 49 2 + 7 2 x

Resposta

arctg 7 x x 3 d x = - arctg 7 x 1 2 x 2 + 49 2 + 7 2 x

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