Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2013.1 - Noturno, Questão 4 c

Calcule as seguintes integrais.

b   0 1 x x 2 + 2 x + 1 d x

Passo 1

Olha para o denominador da função que vamos integrar. Tem produto notável que sai dele, né?

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Se eu reescrever a função com esse cara podemos tentar sair por frações parciais:

x x + 1 2 = A x + 1 + B x + 1 2

Esse é o Caso 3 da nossa teoria!

x x + 1 2 = A x + 1 + B x + 1 2 = A x + A + B x + 1 2

Resolve esse sistema aí, fica mole:

A = 1 A + B = 0

A = 1 ; B = - 1

x x + 1 2 = 1 x + 1 - 1 x + 1 2

Integra isso agora. Aproveitando, vamos substituir u = x + 1 ,   d u = d x sendo os novos limites de integração u = 1 + 1 = 2 e u = 0 + 1 = 1 .

0 1 x x 2 + 2 x + 1 d x = 0 1 1 x + 1 - 1 x + 1 2 d x

1 2 1 u - 1 u 2 d u = ln u + 1 u [ 2 1 = ln 2 + 1 2 - ln 1 + 1 1

ln ( 2 ) - 1 2

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Resposta

0 1 x x 2 + 2 x + 1 d x = ln ( 2 ) - 1 2

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