Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 10

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

10)

d x 1 + e x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!

“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”

Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.

Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá! ☺

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

d x 1 + e x

Podemos pensar em uma substituição para simplificar a vida. Veja:

1 + e x = a

então o d a será derivando...

d a = e x d x

Como queremos na real o d x pra substituir na integral...

d x = d a e x  

Temos trocar essa exponencial para a função de a para integrar certo? Então veja...

1 + e x = a           e x = a - 1    

d x = d a a - 1    

d x 1 + e x = 1 a d a a - 1    

1 a a - 1     d a

Passo 3

Geramos outra integral que embora seja menos feia, temos que fazer outra manobra, pois ela não se resolve direto. Como temos uma fração envolvendo um produto... Isso nos sugere a resolução por frações parciais:

Em uma resolução por fração parcial, como você já sabe, buscamos separar a fração em outras. No caso, a função que vamos separar é...

1 a a - 1    

Vamos tentar separar em duas...

1 a a - 1     = P a + Q a - 1

No caso, o que precisamos fazer é encontrar esse P e Q aí. Pra fazer, a gente tira M M C do denominador (lembrando que o M M C de coisas que a gente não conhece é uma multiplicação dos denominadores) e faz umas jogadas, olha só:

P a + Q a - 1 = P a - 1 + B a a a - 1

Então...

1 a a - 1     = P a - 1 + B a a a - 1

Cortando o mesmo denominador dos dois lados...

1 = P a - 1 + B a

1 = P a - P + B a

1 = B + P a + - P

Por igualdade de polinômio, o lado direto tem que ser igual ao esquerdo, e pra isso acontecer...

B + P = 0

- P = 1

Logo...

P = - 1         e         B = 1

Passo 4

Substituindo então, aquela fração chata e complicada vira duas simples...

1 a a - 1     = P a + Q a - 1  

1 a a - 1     = - 1 a + 1 a - 1

Trocando na integral...

1 a a - 1     d a = - 1 a + 1 a - 1     d a

Separando a integral...

- 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = - 1 a   d x + 1 a - 1   d x

Agora é só resolver cada uma dessas integrais e correr para o abraço :D

Passo 5

- 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = - 1 a   d x + 1 a - 1   d x

Resolvendo a primeira

- 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = - l n   a   + 1 a - 1   d x

Resolvendo a segunda que também já sai direto...

- 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = - l n   a   + l n   a - 1  

Substituindo o a = 1 + e x

- 1 4 x + 1 + 1 4 x - 3 d x = - l n   1 + e x   + l n   1 + e x - 1   + C =

- l n   1 + e x   + l n   e x   + C =

- l n   1 + e x   + x + C

Resposta

x - l n   1 + e x   + C

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