Exercícios Resolvidos de Tração em Cabos

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Enunciado

Na figura ao lado, uma barra não homogênea de comprimento L está suspensa em repouso, na horizontal, por duas cordas de massa desprezível. A corda 1 faz um ângulo θ = 30 0 com a vertical e a corda 2 faz um ângulo φ = 60 0 com a vertical.

(a) (1,5) Qual a razão T1/T2 entre as tensões na corda 1 e corda 2 respectivamente?

(b) (2,0) Em função de L, qual a distância x entre a extremidade esquerda da barra e o centro de massa?

Passo 1

a) Dá uma olhada nessas cordas da figura. A tensão nelas é paralela às cordas. Mas o peso da barra é pra baixo, na direção vertical! Então nós temos que decompor a tensão nessas cordas em horizontal e vertical. Dá uma olhada:

E aí vai ser:

T 1 y = T 1 cos ⁡ θ

T 2 y = T 2 cos ⁡ φ

T 1 x = T 1 sen ⁡ θ

T 2 x = T 2 sen ⁡ φ

Lembrando que também vamos ter a força peso atuando ali no centro de massa.

Passo 2

Fazendo o equilíbrio de forças:

P = T 1 y + T 2 y

T 1 x = T 2 x

E trocando os “valores”:

P = T 1 cos ⁡ θ + T 2 cos ⁡ φ

T 1 sen ⁡ θ = T 2 sen ⁡ φ

Dessa segunda relação, a gente pode tirar:

T 1 T 2 = sen ⁡ φ sen ⁡ θ

Como φ = 60 0 e θ = 30 0 :

T 1 T 2 = 3 / 2 1 / 2

T 1 T 2 = 3

Que a resposta do item A.

Passo 3

b) Pra achar o valor de x nós vamos usar essa informação: no equilíbrio, o somatório dos momentos vai ser zero em qualquer ponto.

Vou fazer o somatório dos momentos com relação à extremidade esquerda da barra:

T 2 y L - P x = 0

T 2 cos ⁡ φ L - P x = 0

Show! Guarde essa equação.

Agora, vou substituir a relação que a gente achou entre T1 e T2 nessa equação aqui:

P = T 1 cos ⁡ θ + T 2 cos ⁡ φ

Que é o equilíbrio de forças verticais. Então:

P = T 2 3 cos ⁡ θ + T 2 cos ⁡ φ

E como θ = 30 0 e φ = 60 0 :

P = T 2 3 3 2 + T 2 1 2

P = 2 T 2

T 2 = P / 2

Belezinha! Voltando lá naquela equação que eu pedi pra você guardar:

T 2 cos ⁡ φ L - P x = 0

Vou trocar T 2 :

P 2 cos ⁡ φ L - P x = 0

Arrumando a casa:

x = cos ⁡ φ L 2

E como φ = 60 0 :

x = L 4

Resposta

a)   T 1 T 2 = 3

b) x = L 4

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