Exercícios Resolvidos de Tração em Cabos

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Enunciado

Um lustre é pendurado em um teto horizontal por dois fios, considerados ideais, que se juntam e são ligados ao lustre, como mostra a figura. Em um dos fios, que faz um ângulo de θ 1 com o teto, a tensão tem módulo T 1 ; no outro, que faz um ângulo θ 2 com o teto, a tensão tem módulo T 2 . Considerando o sistema de eixos O X Y com O Y na vertical, como indicado na figura, obtemos que a razão T 2 y / T 1 y entre as componentes verticais T 2 y e T 1 y das tensões é

  1. sen ⁡ θ 2 / cos ⁡ θ 1 ;
  2. sen ⁡ θ 2 / sen ⁡ θ 1 ;
  3. tan ⁡ θ 2 / tan ⁡ θ 1 ;
  4. cos ⁡ θ 1 / cos ⁡ θ 2 ;
  5. cos ⁡ θ 2 / tan ⁡ θ 1 ;

Passo 1

Vamos começar o problema fazendo DCL do bloco

Temos os seguintes dados do enunciado

D a d o s θ 1 θ 2

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças no DCL

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Não, ele não está apoiado em nenhuma superfície.

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, existem dois fios atuando.

  7. Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O DCL do bloco fica

Repare que os ângulos dos fio são com a horizontal, na parte de baixo eles são os ângulos dos fios com a horizontal.

Passo 2

Para achar a razão entre as componentes verticais da tração, devemos achar T 1 y e T 2 y .

Vamos usar a regra do COlado, SEparado”, para achar a componente.

T 1 y = T 1 ⋅ sen ⁡ θ 1

T 2 y = T 2 ⋅ sen ⁡ θ 2

Então

T 2 y T 1 y = T 2 ⋅ sen ⁡ θ 2 T 1 ⋅ sen ⁡ θ 1  

T 2 y T 1 y = T 2 T 1 ⋅ sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1

Devemos achar T 2 / T 1

Passo 3

Vamos fazer a analise das forças no e i x o   x porque o bloco está em equilíbrio

T 1 x = T 2 x

Devemos encontrar T 1 x e T 2 x usando a “regra do COlado, SEparado”.

T 1 x = T 1 ⋅ cos ⁡ θ 1

T 2 x = T 2 ⋅ cos ⁡ θ 2

Então

T 1 ⋅ cos ⁡ θ 1 = T 2 ⋅ cos ⁡ θ 2

T 2 T 1 = cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Passo 4

Recapitulando,

T 2 y T 1 y = T 2 T 1 ⋅ sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1

Acabamos de achar T 2 / T 1 , então

T 2 y T 1 y = cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 ⋅ sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1

T 2 y T 1 y = tan ⁡ θ 2 tan ⁡ θ 1

Jovem, você deve estar se perguntando como surgiu a tangente né?

É um pouco estranho ver, vou te explicar. Primeiro, sabe como eu sabia sem fazer conta que ia aparecer a tangente? Pelas alternativas da múltipla escolha!!

Nenhuma delas tinha mais de um cos ⁡   ou sen ⁡   .

Agora entendendo direitinho como apareceu a tangente,

T 2 y T 1 y = cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 ⋅ sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1

T 2 y T 1 y = sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1

Repara que eu só mudei a ordem da multiplicação. Você lembra de divisão de fração?

Você mantém a primeira e inverte a segunda.

Concorda comigo então que

sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1 = sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ÷ sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1

Ficou confuso?

Eu só “desinverti” e coloquei uma divisão

Porque isso fica

sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ÷ sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 = tan ⁡ θ 2 ÷ tan ⁡ θ 1

T 2 y T 1 y = tan ⁡ θ 2 tan ⁡ θ 1

Resposta

Letra C

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