Um pulso, se movendo em uma corda esticada com tensão T , é descrita pela função de onda:

y x , t = b 3 b 2 + 2 x - u t 2

  1. Faça um gráfico de y x , 0 b como função de x b .
  2. Qual o valor da magnitude da velocidade de propagação do pulso e sua direção?
  3. Calcule a velocidade transversal de um dado ponto x da corda num instante t .
  4. Determine a potência instantânea P ( x , t ) associada a esse pulso e mostre que ela é sempre maior ou igual a zero.

Passo 1

a):

Bom, aqui nós vamos ter que primeiro fazer uma manipulação de variáveis pra encontrar a nossa função y x , 0 b :

y x , t = b 3 b 2 + 2 x - u t 2 → y x , 0 = b 3 b 2 + 4 x 2

Isolando b 2   no denominador e no numerador:

y x , 0 = b 2 b 2 b 1 + 4 x b 2 = b 1 + 4 x b 2

y x , 0 b x b = 1 1 + 4 x b 2

Se a gente fizer x b = 0 , vamos obter o valor 1. Se a gente fizer x b tender ao infinito, a função tende a zero, assim como se a gente fizer tender a menos infinito. Logo, o gráfico da função fica:

Passo 2

b) :

Se a gente considerar um observador O ' se movendo na mesma direção do pulso e com a mesma velocidade que ele, esse observador o veria parado, certo? Ou seja, sem dependência temporal.

Se a gente reescrever a função do pulso excluído a parte que funciona como uma função do tempo (no caso - u t ) , podemos escrever:

y ' x ' , t ' = y ' x = b 3 b 2 + 4 x ' 2

Legal...Mas e daí?

Bom, agora a gente tem que pensar em como fizemos essa transformada. Se a gente tomar:

x = x ' + u t 2

E depois substituir na equação original:

b 3 b 2 + 2 x - u t 2 = b 3 b 2 + 2 x ' + u t 2 - u t 2 = b 3 b 2 + 4 x ' 2

Que é a equação do pulso parado.

Só que a equação x = x ' + u t 2 é justamente a equação de um móvel se movendo com velocidade u 2 na direção positiva do eixo x . Logo, como estávamos supondo que esse observador estava se deslocando na mesma velocidade que o pulso, a velocidade do pulso será:

v = u 2

Passo 3

c):

Bom, pra se calcular a velocidade transversal de um ponto na corda num instante t qualquer, a gente precisa derivar parcialmente a função y ( x , t ) em relação a t . Ou seja:

v y = ∂ y x , t ∂ t = ∂ ∂ t b 3 b 2 + 2 x - u t 2 = 2 b 3 2 x - u t u b 2 + 2 x - u t 2 2

Isso acontece porque a gente ‘congela’ um x qualquer e apenas varia o tempo dele, ou seja, o ponto x passa a se mover pra cima e pra baixo, apenas transversalmente.

Passo 4

d):

O que a gente precisa fazer aqui? Bem, basicamente vamos precisar chegar a uma expressão como a do enunciado e provar que ela é sempre positiva. Essa expressão será a expressão da potência instantânea.

Bom:

P x , t = F y x , t v y x , t = - T ∂ y x , t ∂ x . ∂ y x , t ∂ t

Opa, mas ainda não sabemos a derivada parcial da função em relação a x . Vamos calcular:

∂ y x , t ∂ x = - 4 b 3 2 x - u t b 2 + 2 x - u t 2 2

E a derivada parcial em relação a t é:

∂ y x , t ∂ t = 2 b 3 2 x - u t u b 2 + 2 x - u t 2 2

Logo, substituindo na expressão da potência:

P x , t = - T ∂ y x , t ∂ x . ∂ y x , t ∂ t = - T - 4 b 3 2 x - u t b 2 + 2 x - u t 2 2 . 2 b 3 2 x - u t u b 2 + 2 x - u t 2 2

= 8 T b 6 2 x - u t 2 u b 2 + 2 x - u t 2 4

Como a expressão final é um produto de quadrados, a gente conclui que a potência é sempre maior ou igual a 0.

Resposta

  1. y x , 0 b x b = 1 1 + 4 x b 2
  2. v = u 2
  3. 2 b 3 2 x - u t u b 2 + 2 x - u t 2 2
  4. 8 T b 6 2 x - u t 2 u b 2 + 2 x - u t 2 4 ≥ 0

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