3) Considere a função f : R → R definida por

f x = x - 1 6 x - 1 ,     s e   x ≠ 1 1 ,     s e   x = 1

Verifique que lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x . Então f é contínua em R ? Justifique.

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada uma função definida por partes e nosso objetivo é saber se f é continua e conferir que lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x .

Parece tranquilo? 🤔

Para f ser uma função continua, a parte da função x ≠ 1 tem que tender a 1 quando x tende a 1 .

Quando x ≠ 1 perceba que há uma indeterminação 0 / 0 se x = 1 , dessa forma f x assume o valor 1 quando x = 1 para “tapar” o buraco deixado pela indeterminação.

Com isso temos que verificar se esse buraco realmente foi tapado ou se o valor f 1 está incorreto para esse objetivo.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para verificar se f x ≠ 1 tende a 1 quando x tende a 1 podemos calcular o limite de f x ≠ 1 para x → 1

lim x → 1 ⁡ x - 1 6 x - 1

Se a b = a b 2 , podemos simplificar o numerador como

lim x → 1 ⁡ x - 1 6 2 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 3 x - 1

Simplificando o numerador com o denominador, temos

lim x → 1 ⁡ x - 1 2

Aplicando o método de substituição, temos

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 = 1 - 1 2

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 = 0

Dessa forma vemos que f x ≠ 1 tende a 0 quando x tende a 1 , portanto a função f x não é contínua

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Não é contínua

lim x → 1 ⁡ f x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2