1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = sin ⁡ ( b x + b ) a x + a ,   s e   x < - 1 3 x + 1 ,   s e - 1 ≤ x ≤ 0 a ln ⁡ x + e x + 1 ,   s e   x ≥ 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha: para a função ser continua, os seus limites laterais tem que ser iguais entre si e a função no ponto, ou seja,

f k = lim x → k + ⁡ f x = lim x → k - ⁡ f x

Onde k , neste caso, são justamente pontos onde a função muda de comportamento.

Agora repara que os pontos x = - 1 e x = 0 são, justamente, os pontos em que a função muda de comportamente.

Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é a e b .

Passo 2

Começando por lim x → - 1 ⁡ f x .

Temos que para valores menores que - 1 , a função tem esse comportamento sin ⁡ ( b x + b ) a x + a . Então vamos fazer,

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ sin ⁡ ( b x + b ) a x + a = 0 0

Repara que caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Mas a gente consegue resolver usando o Limite Fundamental Trigonométrico. Vamos reescrever a nossa função assim

lim x → - 1 - ⁡ sin ⁡ b ( x + 1 ) a ( x + 1 )

Temos uma pequena diferença do nosso denominador para o que está dentro do seno, então vamos multiplicar por b em cima e em baixo:

lim x → - 1 - ⁡ sin ⁡ b ( x + 1 ) a ( x + 1 ) = 1 a lim x → - 1 - ⁡ b sin ⁡ b ( x + 1 ) b ( x + 1 )

Mas ainda não podemos usar o nosso limite fundamental, pois x → - 1 - e não a zero. Então vamos fazer uma mudança de variável

u = x + 1

u → 0

Logo,

1 a lim x → - 1 - ⁡ b sin ⁡ b ( x + 1 ) b ( x + 1 ) = b a lim u → 0 - ⁡ sin ⁡ b ( u ) b ( u )

Aplicando o nosso limite fundamental trigonométrico, temos que

b a lim u → 0 - ⁡ sin ⁡ b ( u ) b ( u ) = b a 1 = b a

Passo 3

Agora vamos olhar para valores maiores que - 1 , onde a função terá esse comportamento   3 x + 1 . Logo,

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ 3 x + 1 = - 2

Para função ser continua, temos que

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 ⁡ f x

Podemos dizer que,

a b = - 2

a = - 2 b

Opaaa, temos uma equação e duas icognitas! Então vamos avaliar a próxima condição para montar esse sistema.

Passo 4

Fazendo agora lim x → 0 ⁡ f x .

Temos que para valores menores que 0 , a função tem esse comportamento 3 x + 1 . Então vamos fazer,

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ 3 x + 1 = + 1

Agora vamos olhar para valores maiores que 0 , onde a função terá esse comportamento a ln ⁡ x + e x + 1 . Logo,

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ a ln ⁡ x + e x + 1 = a 2

E para função ser continua temos que

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x

Podemos dizer que,

a 2 = 1

a = 2

Descobrimos quem é a , mas vimos no passo anterior que

a = - 2 b

Logo,

2 = - 2 b

b = - 1

Prontinho!

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1