Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Passo 1

Começamos derivando a relação implicitamente:

sec 2 ⁡ x + y - cos 2 ⁡ x + y = 3 2

2 sec ⁡ x + y sec ⁡ x + y ' - 2 cos ⁡ x + y cos ⁡ x + y ' = 3 2 '

2 sec ⁡ x + y sec ⁡ x + y tg ⁡ x + y x + y ' - 2 cos ⁡ x + y - sen ⁡ x + y x + y ' = 0

2 sec 2 ⁡ x + y tg ⁡ x + y 1 + y ' + 2 cos ⁡ x + y sen ⁡ x + y 1 + y ' = 0

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Passo 2

Dada a condição do enunciado que diz que f π 4 = 0 , temos que, quando x = π 4 , y = 0 .

Nessa situação, f ' π 4 será o y ' correspondente a x = π 4 . Portanto, ficamos assim, aplicando x = π 4 e y = 0 :

2 sec 2 ⁡ π 4 + 0 tg ⁡ π 4 + 0 1 + y ' + 2 cos ⁡ π 4 + 0 sen ⁡ π 4 + 0 1 + y ' = 0

2 sec 2 ⁡ π 4 tg ⁡ π 4 1 + y ' + 2 cos ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 1 + y ' = 0

Temos que sen ⁡ π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2 , tg ⁡ π 4 = 1 e sec ⁡ π 4 = 2 :

2 2 2 1 1 + y ' + 2 2 2 2 2 1 + y ' = 0

4 + 1 1 + y ' = 0

y ' = - 1

Esse será o valor de f ' π 4 !

Resposta

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