3.35. (P1-2016) Seja f uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em x = 0 e dada implicitamente pela equação y 3 + x y 2 + y = 2 s i n x + 2 . O valor de f ' 0 é

a) 1 4

b) 1 2

c) - 3 4

d) - 14 13

e) 6 13

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada de f x em x = 0 , porém a função é dada pela equação y 3 + x y 2 + y = 2 s i n x + 2 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Para obter a derivada de f x vamos aplicar o método da derivação implícita, ou seja

f ' x = - ∂ f x ∂ f y

Quando temos uma função dada implicitamente, essa formulinha nos ajuda demais

Vamos ver como fazemos isso? 😉

Passo 2

Primeiro passamos todos os termos da equação para um lado da igualdade

y 3 + x y 2 + y = 2 s i n x + 2 → y 3 + x y 2 + y - 2 s i n x - 2 = 0

E depois definimos uma função f x = 0 , ou seja

f x = 0 = y 3 + x y 2 + y - 2 s i n x - 2

f x = y 3 + x y 2 + y - 2 s i n x - 2

Derivando com relação a x pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ f x = 0 y 3 + x 1 - 1 y 2 + 0 y - 2 c o s x - 0 2

∂ f x = y 2 - 2 c o s x

Agora derivamos com relação a y pelo mesmo método

∂ f y = 3 y 3 - 1 + 2 x y 2 - 1 + y 1 - 1 - 0 2 s i n x - 0 2

∂ f y = 3 y 2 + 2 x y + 1

Substituindo na fórmula da derivada implícita, temos

f ' x = - ∂ f x ∂ f y = - y 2 - 2 c o s x 3 y 2 + 2 x y + 1

f ' x = - y 2 - 2 c o s x 3 y 2 + 2 x y + 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora o que nos resta é substituir o ponto x = 0 em f ' x .

Porém, também precisamos do valor de y que ainda não temos... pra obter y , vamos substituir x por 0 na equação inicial

y 3 + x y 2 + y = 2 s i n x + 2 → y 3 + 0 y 2 + y = 2 s i n 0 + 2

y 3 + y = 2

Fatorando essa equação, temos

y - 1 y 2 + y + 2 = 0

Da primeira equação, temos que y = 1 , mas da segunda, não temos raízes reais, então temos apenas um valor

y = 1

Agora sim...

Substituindo x = 0 e y = 1 em f ' x

f ' x = - y 2 - 2 c o s x 3 y 2 + 2 x y + 1 → f ' 0 = - 1 2 - 2 c o s 0 3 1 2 + 2 0 1 + 1

f ' 0 = - 1 - 2 3 + 1

f ' 0 = 1 4

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' 0 = 1 4

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub