Para cada uma das funções f   ( x )   =   u   ( x )   v ( x ) , em que u   ( x ) e v   ( x ) são dadas a seguir, faça o que se pede

(c) u   ( x )   =   e x e v   ( x ) = t a n   x

f   ( x )   =   [ e x ] t a n   x  

(c.b) Aplique o logaritmo na igualdade f   ( x )   =   u   ( x )   v ( x ) obtendo

  l n ( f   ( x ) )   = l n (   u   ( x )   v ( x ) )   =   v ( x )   l n ( u ( x ) )

Em seguida, derive essa igualdade, usando o Teorema da função implícita, para obter f   ′   ( x ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que derivar a função:

  f   ( x )   =   [ e x ] t a n   x  

Tendo u   ( x )   =   e x e v   ( x ) = t a n   x , vamos aplicar o logaritmo e teremos

  l n ( f   ( x ) )   =   v ( x )   l n ( u ( x ) )

E usando o Teorema da função implícita e derivando dos dois lados dessa equação, temos que:

1 f ( x ) f '   ( x ) = d d x ( v ( x )   l n ( u ( x ) ) )

f '   ( x ) = f ( x ) d d x ( v ( x )   l n ( u ( x ) ) ) .

Então temos uma relação para f '   ( x ) . Então vamos lá!

Passo 2

Temos que:

u   ( x )   =   e x e v   ( x ) = t a n   x

vamos reescrever da seguinte forma:

  l n ( f   ( x ) )   = t a n   x   l n ( e x ) = x   t a n   x

Passo 3

Utilizando o Teorema da função implícita, temos a seguinte relação para a derivada:

f '   ( x ) = f ( x ) d d x ( v ( x )   l n ( u ( x ) ) ) .

f '   ( x ) =   [ e x ] t a n   x d d x ( x   t a n   x )

Resolvendo essa derivada

f '   ( x ) =   [ e x ] t a n   x ( t a n   x   + x   s e c 2 x ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f '   ( x ) =       [ e x ] t a n   x ( t a n   x   + x   s e c 2 x ) .

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