Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Considere a curva definida implicitamente por 2 x 2 + y 2 2 = 25 x 2 - y 2 ,   cuja forma é semelhante a do símbolo do infinito.

a) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (3,-1), conforme indicado na figura acima.

b) Encontre os pontos (x,y) desta curva cujas coordenadas y são máximas, conforme indicado pelas setas da figura acima.

Passo 1

a) Para começar essa questão, vamos precisar fazer uma derivada implícita, já que para encontrarmos a equação da reta tangente precisamos de: y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Derivando então teremos:

2 x 2 + y 2 2 = 25 x 2 - y 2

4 ( x 2 + y 2 ) ( 2 x + 2 y y ' ) = 25 2 x - 2 y y '

Isolando o y’ ficamos com:

y ' = f ' x = x 4 x 2 + y 2 - 25 y 4 x 2 + y 2 + 25

Queremos a reta tangente no ponto (3,-1), logo:

f ' 3 = 3 4 3 2 + ( - 1 ) 2 - 25 ( - 1 ) 4 3 2 + ( - 1 ) 2 + 25 = 9 13

Montando então a equação da reta tangente teremos:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

y + 1 = 9 13 x - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para resolvermos a letra b temos que lembrar que pontos de máximos temos a derivada igual a zero, certo?

f ' x = x 4 x 2 + y 2 - 25 y 4 x 2 + y 2 + 25

Para zerarmos essa derivada, precisamos que o numerador seja igual a zero. Observa que o denominador não, uma vez que não trabalhamos com divisões por zero.

x 4 x 2 + y 2 - 25 = 0

Poderíamos pensar no x=0, no entanto, pelo desenho que nos foi disposto no enunciado vemos que os pontos máximos procurados não se encontram no x=0.

Passo 3

A outra forma de zerar essa função seria se a outra parcela do produto fosse zero, ou seja:

4 x 2 + y 2 - 25 = 0

x 2 + y 2 = 25 4

Passo 4

Se precisamos necessariamente que x 2 + y 2 = 25 4 , podemos substituir esse valor na função inicial, onde encontramos:

2 x 2 + y 2 2 = 25 x 2 - y 2

2 25 4 2 = 25 x 2 - y 2

x 2 - y 2 = 25 8

Com isso podemos então montar um sistema:

x 2 + y 2 = 25 4

x 2 - y 2 = 25 8

x 2 = 75 16 → x = ± 5 3 4

y 2 = 25 16 → y = ± 5 4

Vale lembrar ainda que procuramos os valores positivos de y! Ficamos então com:

- 5 3 4 , 5 4 e   5 3 4 , 5 4

Passo 5

Resposta

a )   y + 1 = 9 13 x - 3

b ) - 5 3 4 , 5 4 e   5 3 4 , 5 4  

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