Encontre y '

c) e x / 2 = x - y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada, y ' , da expressão implícita e x / 2 = x - y . E se essa é uma expressão implícita, nós vamos usar o quê? Isso mesmo, a derivação implícita.

Pra relembrar, na derivação implícita nós vamos derivar normalmente cada termo com y , como se tivesse derivando termos com a variável x , só que vamos acrescentar um espacinho em branco do lado. Nesse espacinho em branco nós vamos completar com o termo que representa a derivada de y em relação a x , que vai ser denotado por y ' . Depois basta isolar o y ' e encontramos nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar tomando a derivada em relação a x em ambos os lados da equação:

d d x e x / 2 = d d x ( x - y )

A derivada da soma/subtração é a soma/subtração das derivadas, então podemos separar os termos:

d d x e x / 2 = d d x x - d d x ( y )

Nos termos que dependem apenas da variável x , nós podemos derivar normalmente, nesse caso usando a regrinha da cadeia no primeiro termo.

1 2 e x / 2 = 1 - d d x ( y )

E nos termos que dependem da variável y , nós também derivamos normalmente, mas deixando o espacinho para preencher com a derivada de y em relação a x :

1 2 e x / 2 = 1 - ( 1 ) _ _ _ _

1 2 e x / 2 = 1 - y '

Então, isolando y ' :

y ' = 1 - e x / 2 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 1 - e x / 2 2

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub