Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Origem do Exercício

Encontre a derivada d y / d x da função x 3 - 3 x y = y 3 .

(a) y ' = ( x 2 - y ) / ( x + y 2 )

(b) y ' = ( y + x 2 ) / ( x - y 2 )

(c) y ' = ( x 2 - y ) / ( x - y 2 )

(d) y ' = ( y - x 2 ) / ( - x + y 2 )

(e) y ' = ( y - x 2 ) / ( x - y 2 )

Passo 1

Esse é um caso de derivação implícita. O segredo aqui é não pensar demais, vamos simplesmente derivar os dois lados em relação a x :

x 3 - 3 x y = y 3

d d x x 3 - 3 x y = d d x ( y 3 )

d d x x 3 - d d x 3 x y = d d x ( y 3 )

Vamos analisar essas três derivadas com cuidado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira é a mais simples:

d d x x 3 = 3 x 2

A segunda exige a regra do produto:

d d x 3 x y = 3 d d x x y = 3   y d d x x + x d y d x

d d x 3 x y = 3 y + 3 x d y d x

E a terceira exige a regra da cadeia:

d d x y 3 = d y 3 d y d y d x = 3 y 2 d y d x

Passo 3

Agora vamos voltar na equação lá de cima:

d d x x 3 - d d x 3 x y = d d x ( y 3 )

3 x 2 - 3 y + 3 x d y d x = 3 y 2 d y d x

Nosso objetivo é calcular d y / d x , então vamos isolar isso:

3 x 2 - 3 y - 3 x d y d x = 3 y 2 d y d x

d y d x 3 y 2 + 3 x = 3 x 2 - 3 y

d y d x = 3 x 2 - 3 y ( 3 y 2 + 3 x ) = x 2 - y y 2 + x

E temos nosso resultado:

d y d x = x 2 - y x + y 2

Resposta

Letra (a).

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