Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Encontre a derivada de:

sen ⁡ 3 x 2 - 2 x = y ln ⁡ y 2 + e

No ponto P = 0,0 .

Passo 1

Não dá para isolar o y aqui nesse problema, então vamos derivar implicitamente: sen ⁡ 3 x 2 ' - 2 x ' = y ln ⁡ y 2 + e '

Vamos calcular cada derivada separadamente e depois substituir na expressão.

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Passo 2

Como temos uma função composta, é interessante derivar sen ⁡ 3 x 2 usando a regra da cadeia. Considerando u = 3 x 2 que é o que está dentro do seno: sen ⁡ 3 x 2 ' = d sen ⁡ u d u ⋅ d u d x

Sendo: d sen ⁡ u d u = sen ⁡ u ' = cos ⁡ u = cos ⁡ 3 x 2

E:

d u d x = 3 x 2 ' = 6 x

Assim sendo, temos: sen ⁡ 3 x 2 ' = 6 x cos ⁡ 3 x 2

Passo 3

Para y ln ⁡ y 2 + e , como temos um produto, vamos usar a regra do produto para derivar:

y ln ⁡ y 2 + e ' = y ' ln ⁡ y 2 + e + y ln ⁡ y 2 + e '

Para ln ⁡ y 2 + e ' , como temos uma função composta, vamos usar a regra da cadeia. Fazendo w = y 2 + e que é o que está dentro do log: ln ⁡ y 2 + e ' = d ln ⁡ w d w ⋅ d w d x

Onde: d ln ⁡ w d w = 1 w = 1 y 2 + e

E:

d w d x = y 2 + e ' = 2 y y '

Ou seja: ln ⁡ y 2 + e ' = 2 y y ' y 2 + e

Ficando então: y ln ⁡ y 2 + e ' = y ' ln ⁡ y 2 + e + 2 y 2 y ' y 2 + e

Finalmente, 2 x ' = 2

Passo 4

Legal, agora já podemos substituir isso tudo na expressão da derivada implícita: sen ⁡ 3 x 2 ' - 2 x ' = y ln ⁡ y 2 + e ' ⟹ 6 x cos ⁡ 3 x 2 - 2 = y ' ln ⁡ y 2 + e + 2 y 2 y ' y 2 + e

Como o problema pede justamente a derivada no ponto P 0,0 , nem precisamos nos preocupar em isolar y ' a gora, basta substituir os valores e isolar depois: 6 ⋅ 0 cos ⁡ 0 - 2 = y ' ln ⁡ 0 + e + 2 ⋅ 0 ⋅ y ' 0 + e ⟹ - 2 = y ' ln ⁡ e

y ' = - 2

Pronto!

Resposta

y ' = - 2

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