Uma função y = y ( x ) é dada implicitamente pela equação x 3 + y 3 = 6 x y .

  1. Determine a reta tangente à curva no ponto ( 3,3 ) .
  2. Determine os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Pessoal, essa questão é toda sobre reta tangente née.? Então claro que precisamos relembrar da nossa equaçãozinha da reta tangente:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Esse x 0 e y 0 que aparecem são as coordenadas do ponto em que a reta tangente toca a curva. No caso do item a, o enunciado nos disse que é o nosso ponto é igual a ( 3,3 ) . Então:

x 0 = 3

y 0 = 3

Mas e esse   m ? Esse m é o coeficiente angular da reta e ele é igual a derivada de y em relação a x :

m = d y d x = y '

Substituindo na equação, temos que a reta tangente que toca a curva no ponto ( 3,3 ) tem essa equação aqui:

y - 3 = d y d x ⋅ m ( x - 3 )

Mas e esse   m ? Esse m é o coeficiente angular da reta e ele é igual a derivada de y . Isso significa que precisamos derivar y , mas vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 2

Já que queremos encontrar a reta tangente e a Nnossa função é dada por uma equação implícita:

x 3 + y 3 = 6 x y

o primeiro passo queEntão temos que fazer é derivar essa função implicitamente. E pra isso temos que lembrar de uma coisa muito importante: que y é uma função de x .

ULTRA POWER DICA DO UNIVERSO: Então cCuidado pra não tratar ele como uma constante e errar tudo!

Vamos derivar toda a equação em relação a x !

d x 3 d x + d y 3 d x = d 6 x y d x

Olha como a gente deriva essa parte fundamental, Quando a gente derivaquando derivamos uma função de y com relação a x , fica bem assim:

d f y d x = d f y d y ⋅ d y d x  

Nós primeiro derivamos em relação a y e multiplicamos pela derivada de y em relação a x .

Então a derivada de y 3 fica:

d ( y 3 ) d x = d ( y 3 ) d y ⋅ d y d x = 3 y 2 ⋅ y '

E pra derivar 6 x y , como se trata de um produto entre duas variáveis, teremos a soma de duas parcelas, uma delas considerando o y fixo e derivando o x e a outra parcela considerando x fixo e derivando y em relação a x : :

d ( 6 x y ) d x = 6 y + 6 x y '

E por último, a derivada mais tranquila e que não pode ser esquecida:

d x 3 d x = 3 x 2

Então a derivada da nossa função:

d x 3 d x + d y 3 d x = d 6 x y d x

fFiica bem assim::

3 x 2 + 3 y 2 ⋅ y ' = 6 y + 6 x y '

Veja que toda vez que derivamos em relação a y , nós também multiplicamos por y ' !

Agora vamos ajeitar a nossa primeira derivada: para aplicar os valores do ponto ( 3,3 ) :

3 x 2 + 3 y 2 ⋅ y ' - 6 y - 6 x y ' = 0

3 x 2 - 6 y + 3 y 2 - 6 x y ' = 0

Podemos simplificar toda essa expressão dividindo tudo por 3 :

x 2 - 2 y + y 2 - 2 x y ' = 0

Passo 3

Agora vamos aplicar os valores de x e y para o ponto ( 3,3 ) , ou seja:

x = 3

y = 3

Substituindo:

3 2 - 2 ⋅ 3 + 3 2 - 2 ⋅ 3 y ' = 0

Fazendo essas continhas, nós vamos encontrar o valor de y ' :

9 - 6 + 9 - 6 y ' = 0

3 + 3 y ' = 0

y ' = - 1

Que legal, achamos a derivada de y no ponto ( 3,3 ) ! Mas ai você me pergunta, pra que mesmo eu quero saber o valor da derivada de y ?

Lembra que eu te falei no passo 1, que o coeficiente angular da reta e é igual à derivada de y ?

m = y '

Logo, ele vale:

m = - 1

E agora podemos substituir esse valor na equação da reta tangente

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Viu como realmente foi legal achar a derivada de y no ponto ( 3,3 ) ?

Substituindo na equação da reta tangente, ficamos com a seguinte reta:

y - 3 = - 1 x - 3

y = - x + 3 + 3 = - x + 6

Show, respondemos a letra “a”:

y = - x + 6

Passo 4

Agora queremos encontrar as coordenadas de um ponto onde essa tangente é horizontal, graficamente isso acontece quando temos a reta que representa a derivada paralela ao eixo x , ou seja, precisamos encontrar onde a primeira derivada seja igual a zero:

y ' = 0

Vamos relembrar a expressão que achamos lááá no passo 2, pra primeira derivada da função implícita:

x 2 - 2 y + y 2 - 2 x y ' = 0

Aplicando essa primeira limitação que temos:

x 2 - 2 y + y 2 - 2 x ⋅ 0 = 0

Ficamos com apenas:

x 2 - 2 y = 0

Logo, encontramos a relação em x e y :

y = x 2 2

Passo 5

Beleza? Agora vamos substituir isso na nossa função:

x 3 + y 3 = 6 x y

Substituindo:

x 3 + x 2 2 3 = 6 x x 2 2

Vamos fazer essa conta:

x 3 + x 6 8 - 3 x 3 = 0

x 6 8 - 2 x 3 = 0

Vamos multiplicar tudo por 8 e colocar x 3 em evidência:

x 3 ( x 3 - 16 ) = 0

Para encontrarmos essa igualdade com 0 , temos dois caminhos, ou:

x = 0

Ou:

x 3 - 16 = 0

x = 16 3

Vamos olhar para o caso de x = 0 , teremos o valor de y :

y = x 2 2 = 0 2 = 0

Mas isso não garante que a primeira derivada será igual a zero ( y ' = 0 ) , veja:

x 2 - 2 y + y 2 - 2 x y ' = 0

Substituindo x = 0 e y = 0 :

0 2 - 2 ⋅ 0 + 0 2 - 2 ⋅ 0 y ' = 0 → 0 ⋅ y ' = 0

Então, apenas o ponto, onde:

x = 16 3

E

y = x 2 2 = 16 2 3 2

Pode ser considerado para encontrar a reta tangente horizontal!

Resposta

  1. y = - x + 6

16 3 , 16 2 3 2

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub