Use a derivação implícita para encontrar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y

7) y z + x ln ⁡ y = z 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que obter as derivadas implícitas ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y da equação y z + x ln ⁡ y = z 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada implícita de uma equação, primeiro vamos passar todos os termos da equação para um lado e aplicamos um macete fazendo F = 0 e

∂ z ∂ x = - F x F z

∂ z ∂ y = - F y F z

Bora lá? 😉

Passo 2

Passando todos os termos para um lado, temos

y z + x ln ⁡ y = z 2 → y z + x ln ⁡ y - z 2 = 0

Fazendo F = 0 , então

F = 0 = y z + x ln ⁡ y - z 2

F = y z + x ln ⁡ y - z 2

Agora temos que calcular as derivadas parciais de F para calcular as derivadas implícitas...

F x = ∂ y z + x ln ⁡ y - z 2 ∂ x = ln ⁡ y

F y = ∂ y z + x ln ⁡ y - z 2 ∂ y = z + x y

F z = ∂ y z + x ln ⁡ y - z 2 ∂ z = y - 2 z

Agora como ∂ z ∂ x = - F x F z , então

∂ z ∂ x = - ln ⁡ y y - 2 z

Da mesma forma para ∂ z ∂ y = - F y F z

∂ z ∂ y = - z + x y y - 2 z

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ z ∂ x = - ln ⁡ y y - 2 z

∂ z ∂ y = - z + x y y - 2 z

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub