Passo 1

Antes de começar, é importante verificar se o grau do denominador é maior que o do numerador. Nesse caso é fácil de ver que sim e pode continuar. Vamos lá para as nossas frações parciais!

x - 1 x ( x + 1 ) = A x + B x + 1

Esse caso foi simples já que o denominador já esta na sua forma fatorada.

Passo 2

Fazendo com que as frações tenham o mesmo denominador teremos

x - 1 x ( x + 1 ) = A ( x + 1 ) x ( x + 1 ) + B x x x + 1

Se o denominador é o mesmo em ambos os lados da expressão podemos fazer

x - 1 = A x + 1 + B x

x - 1 = A x + A + B x

x - 1 = x A + B + A

Igualando os temos de mesmo grau vamos ficar com

A + B = 1

A = - 1

Então

B = 2

Logo

x - 1 x ( x + 1 ) = - 1 x + 2 x + 1

Passo 3

Agora vamos voltar para a integral

∫ x - 1 x ( x + 1 ) d x = ∫ - 1 x d x + ∫ 2 x + 1 d x

∫ x - 1 x ( x + 1 ) d x = - 1 ∫ 1 x d x + 2 ∫ 1 x + 1 d x

Sabemos que

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Para resolver a integral

∫ 1 x + 1 d x

Vamos utilizar a substituição

u = x + 1

d u = d x

Então ficamos com

∫ 1 x + 1 d x = ∫ 1 u d u

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ u

Desfazendo a substituição

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1

E substituindo na integral, ficamos com

∫ x - 1 x ( x + 1 ) d x = - ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x + 1 + C

Não podemos esquecer a constante de integração! Resolvido!

Resposta

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Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as int
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48. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função