Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Passo 1

Aqui, vamos começar abrindo a substituindo a tangentepor uma variável u . Não tem nada que me indique usar nenhum método de integração específico, então vou começar forçando essa substituição e ver se melhora a minha vida:

u = tg ⁡ x       ;       d u = sec 2 ⁡ x d x

Acontece que não temos esse d u = sec 2 ⁡ x d x na integral pedida, então vamos escrevê-lo em função do que temos, que é só d x . Temos que u = tg ⁡ x e tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x , logo:

d x = d u sec 2 ⁡ x = d u tg 2 ⁡ x + 1 = d u u 2 + 1

Beleza! Então vamos usar isso na integral:

∫ 1 tg ⁡ x - 1 d x = ∫ 1 u - 1 d u u 2 + 1

= ∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então usar o método das frações parciais para resolver esse cara:

1 u - 1 u 2 + 1 = A u - 1 + B u + C u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A u 2 + 1 u - 1 u 2 + 1 + B u + C u - 1 u - 1 u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A + B u 2 + C - B u + A - C u - 1 u 2 + 1

Igualando cada potência de u de um lado e de outro, obteremos o seguinte sistema:

A + B = 0 C - B = 0 A - C = 1

De onde achamos

A = 1 2       ;       C = - 1 2       ;       B = - 1 2

Teremos, portanto:

∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u = ∫ 1 2 u - 1 d u + ∫ - 1 2 u u 2 + 1 d u + ∫ - 1 2 u 2 + 1 d u

= 1 2 ∫ d u u - 1 - ∫ u   d u u 2 + 1 - ∫ d u u 2 + 1

Passo 3

A primeira integral vai sair por substituição simples:

∫ d u u - 1 = ∫ d t t = ln ⁡ t = ln ⁡ u - 1

A segunda também (com v = u 2 + 1 e 2 u   d u = d v ):

∫ u   d u u 2 + 1 = ∫ d v 2 v = ln ⁡ v 2 = ln ⁡ u 2 + 1 2

A última é a integral do arco tangente, sai de primeira:

∫ d u u 2 + 1 = arctg ⁡ u

Com isso,

∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u = 1 2 ln ⁡ u - 1 - ln ⁡ u 2 + 1 2 - arctg ⁡ u + C

Passo 4

-

Agora desfazemos a substituição, vamos ficar com o seguinte:

∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u = 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x - 1 - ln ⁡ tg 2 ⁡ x + 1 2 - arctg ⁡ tg ⁡ x + C

Sendo que temos uma composta de funções que são inversas entre si, arctg ⁡ tg ⁡ x , que acaba sendo a mesma coisa que x . O resultado final fica assim:

∫ 1 tg ⁡ x - 1 d x = 1 2 ln ⁡ tg ⁡ x - 1 - ln ⁡ tg 2 ⁡ x + 1 2 - x + C

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