Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

4ii) Calcule a seguinte primitiva:

∫ 2 - x x 2 - 1 d x

Passo 1

Vamos olhar bem pra essa integral e perguntar pra ela quem ela é. Se você ouviu: polinômio dividido por polinômio, então ela não mentiu! Só que, dá uma olhada nesse denominador:

x 2 - 1

Opa, uma diferença de quadrados! Sendo assim podemos reescrever ele para:

x 2 - 1 = x + 1 x - 1

E a integral fica:

∫ 2 - x x 2 - 1 d x = ∫ 2 - x x + 1 x - 1 d x

Ok, mas e daí? Bem, quando a gente escreve o denominador assim, pelo método das frações parciais, conseguimos escrever a integral como a soma de duas integrais:

∫ 2 - x x + 1 x - 1 d x = ∫ A x + 1 d x + ∫ B x - 1 d x

Onde A e B são constantes! Então bora achar elas!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra achar essas duas constantes, vamos olhar só pro que tá dentro das integrais:

2 - x x + 1 x - 1 = A x + 1 + B x - 1

Colocando tudo no mesmo denominador, temos:

2 - x x + 1 x - 1 = A x - 1 x + 1 x - 1 + B x + 1 x + 1 x - 1

Cortando os denominadores primeiro e depois fazendo a distributiva, ficamos com:

2 - x = A x - 1 + B x + 1

2 - x = A x - A + B x + B

- 1 x + 2 = B + A x + B - A

Ficamos então com o seguinte sistema de equações:

B + A = - 1 B - A = 2

Somando as duas equações, temos:

2 B = 1

B = 1 2

E logo, tendo encontrado B , achamos também A e ficamos com:

A = - 3 2 B = 1 2

A integral fica:

∫ 2 - x x + 1 x - 1 d x = ∫ A x + 1 d x + ∫ B x - 1 d x

∫ 2 - x x + 1 x - 1 d x = ∫ - 3 2 x + 1 d x + ∫ 1 2 x - 1 d x

E como essa integral tem resolução direta, ficamos com:

∫ 2 - x x + 1 x - 1 d x = - 3 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ 2 - x x + 1 x - 1 d x = - 3 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 + C

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