Bônus – Resolva a integral:

∫ 3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver essa questão juntos?

Sempre que você se deparar com um integrando que tem divisão de polinômios lembre-se: É POR FRAÇÕES PARCIAIS!!

Isso mesmo! A gente vai aplicar juntos a técnica de frações parciais aqui! Mas calma que vou fazer passo a passo com você!

Tranquilo?

Passo 2

A técnica de frações parciais consiste em tentar desmembrar esse integrando em frações mais simples, que a gente consiga resolver. E essas frações mais simples vão ser as frações que deram origem a essa fração mais complicada. Como assim?

É como se a gente tivesse uma fita e ela estivesse no final e quiséssemos ver o início dela. A gente ia precisar rebobinar, não é? (Sim, sou das antigas)

Assim como na fita, a gente precisa refazer os passos para tentar chegar no final. Calma que vou te explicar com um exemplo.

Por exemplo essa fração aqui:

19   6

Ela pode ter sido o resultado da soma de duas outras frações, como por exemplo:

5 2 + 2 3

E como a gente sabe disso? É que a gente já fez o mmc entre esses dois denominadores e já calculou as frações equivalentes, saca só:

m m c 3,2 = 6

15 6 + 4 6 = 15 + 4 6 = 19 6

Mas como assim já calculou? Lembra que falei que era como se fosse um filme e a gente conhecia o fim, mas não o começo? Então é isso, a gente só sabe o resultado de 19 / 6 , mas não sabe que as frações que deram origem são 5 2 e 2 3 .

E o que será que isso tem a ver com o nosso caso? Nós sabemos o integrando

3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 )

Mas não sabemos as frações que deram origem a essa fração. E se soubermos as frações originais, a chance de elas serem mais simples é grande e aí conseguimos resolver essa integral.

Passo 3

Então agora a ideia é mexer nesse integrando aí pra que ele vire algo integrável, bora começar?

A gente faz assim: divide em tantas frações quantas forem os termos da fatoração do denominador. O nosso denominador já está na forma fatorada:

( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 )

Então vamos separar em duas frações com denominadores iguais aos fatores ( x - 1 ) e ( x 2 + 2 x + 2 ) e com numeradores que a gente ainda não conhece:

A x - 1 + B x + C x 2 + 2 x + 2

Uma dica: o polinômio do numerador é sempre uma ordem de grandeza a menos do que a ordem de grandeza do denominador. Por isso a fração cujo denominador é x 2 + 2 x + 2 tem em seu numerador um polinômio de segundo grau. Beleza?

E nossa missão é descobrir A , B e C que tornem verdadeira a igualdade:

3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) = A x - 1 + B x + C x 2 + 2 x + 2

Passo 4

Agora vamos ir refazendo os passos para saber quais são os coeficientes A e B . O mmc entre os dois fatores ( x - 1 ) e ( x 2 + 2 x + 2 ) é só o produto deles (e não precisa fazer a multiplicação tá, só deixa indicado mesmo). Daí fazendo o mmc temos:

3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) = A x 2 + 2 x + x + ( B x + C ) ( x - 1 ) x - 1 . x 2 + 2 x + x

E como os dois lados tem que ser iguais, podemos cortar os denominadores dos dois lados:

3 x + 1 = A x 2 + 2 x + 2 + ( B x + C ) ( x - 1 )

Tudo ok até aqui?

Passo 5

A equação que nos resta é uma igualdade entre polinômios. E dois polinômios só são iguais quando seus coeficientes de mesma potência são iguais. Então vou começar agrupando os termos de mesmo grau do lado direito:

3 x + 1 = A x 2 + 2 A x + 2 A + B x 2 - B + C x - C

E aí temos:

3 x + 1 = x 2 A + B + x 2 A + C + 2 A - B - C

Então temos que os coeficientes dos termos de mesma ordem devem ser iguais. Assim igualando os coeficientes temos um sistema de três equações e três variáveis:

{ A + B = 0   2 A + C = 3   A - B - C = 1  

Da equação de cima temos:

A + B = 0 ∴ A = - B

Aí vamos usar a última equação:

A - B - C = 1

C = A - B - 1

E como A = - B , temos que essa expressão para C fica assim:

C = - B - B - 1 = - 2 B - 1

E agora vamos substituir C (que está em função de B ) e A (que também está em função de B ) na equação do meio, que foi a única que ainda não usamos:

3 A + C = 3

3 - B + ( - 2 B - 1 ) = 3

- 3 B - 2 B - 1 = 3

- 5 B = 4

B = - 4 5

Agora que sabemos B , podemos determinar A e C :

{ C = - 2 B - 1 = - 2 - 4 5 - 1 = 8 5 - 1 = 3 5   A = - B = - - 4 5 = 4 5  

Passo 6

Coeficientes determinados, vamos voltar lá para as nossas frações parciais e completar com os coeficientes corretos:

3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) = A x - 1 + B x + C x 2 + 2 x + 2

E substituindo temos:

3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) = 4 5 . 1 x - 1 + 1 5 - 4 x + 3 x 2 + 2 x + 2

E esse é nosso novo integrando! Saca só como fica nossa integral agora:

∫ 3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) d x = ∫ 4 5 . 1 x - 1 d x   + ∫ 1 5 - 4 x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x

Ela fica dividida em duas!

Calma! Prometo para você que vai ficar melhor!

Passo 7

Olha com carinho a primeira integral do lado direito:

∫ 4 5 . 1 x - 1 d x  

Ela é parecida com essa daqui:

∫ 1 x = l n l n   x   + C

A diferença é que aqui o nosso x está deslocado e temos uma constante multiplicando na frente. Aí a integral mais geral vai ficar assim:

∫ A x - B d x = A . l n l n   | x - B |   + C

No nosso caso A = 4 5 e B = 1 , então essa primeira integral fica assim:

∫ 4 5 . 1 x - 1 d x   = 4 5 l n l n   x - 1  

Beleza? Vamos pra outra integral?

(a constante de integração vou colocar lá no final tá?)

Passo 8

A outra integral do lado direito é:

∫ 1 5 - 4 x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x

Como - 1 / 5 é uma constante, vou colocar ela multiplicando fora da integral:

- 1 5 ∫ 4 x - 3 x 2 + 2 x + 2 d x

E agora aqui precisamos de um pouco de carinho (e truque sujo!).

Nosso denominador pode ser reescrito da seguinte forma:

x 2 + 2 x + 2 = x 2 + 2 x + 1 + 1 = x 2 + 2 x + 1 + 1

E o termo que está dentro dos parênteses é um quadrado perfeito:

x + 1 2 + 1

Tá, daí nossa integral fica assim ó:

- 1 5 ∫ 4 x - 3 x + 1 2 + 1 d x

E agora vem o truque mais sujo que você vai ver hoje: uma mudança de variável!

Supondo que:

u ≡ x + 1

O nosso denominador fica assim:

x + 1 2 + 1 = u 2 + 1

E o numerador:

4 x - 3 = 4 u - 1 - 3 = 4 u - 7

E aqui tá o pulo do gato!

Com o numerador dividido em duas parcelas (o termo 4 u e o - 7 ) podemos dividir essa fração em outras duas!

Saca só:

- 1 5 ∫ 4 x - 3 x + 1 2 + 1 d x = - 1 5 ∫ 4 u u 2 + 1 d u   + ∫ - 7 u 2 + 1 d u

E aqui vai o último truquinho da questão: trocar 4 por 2 × . 2 , daí um dos dois pode sair da integral e o outro fica, pois vai ser o d v da integração por substituição!

Ah, e é claro, aquele - 7 da segunda integral pode também sair pra fora:

1 - 5 ∫ 4 u u 2 + 1 d u   + ∫ - 7 u 2 + 1 d u = - 1 5 2 ∫ 2 u u 2 + 1 d u   - 7 ∫ 1 u 2 + 1 d u

Daí na primeira integral da direita, a gente vai aplicar a técnica da substituição simples e, na segunda integral, éa uma substituição trigonométrica!

Agora é mãos à obra! Toma uma água aí e bora integrar essas duas coisas!

Passo 9

A primeira integral fica:

2 ∫ 2 u u 2 + 1 d u  

Vamos dizer que v = u 2 e assim d v = 2 u   d u , fazendo a substituição temos:

2 ∫ d v v + 1

E essa integral a gente resgata lá do passo 7 da integral do l n :

∫ A x - B d x = A . l n l n   | x - B |   + C

Mas aqui com A = 2 e B = - 1 . Aí nossa integral vai ficar assim:

2 ∫ 2 u u 2 + 1 d u = 2 ∫ d v v + 1 = 2 l n l n   v + 1  

E voltando para u é:

2 l n ⁡ | u 2 + 1 |

E que por sua vez voltando pra x , lembrando que u = x + 1 , daí temos nosso l n em termos de x :

2 l n l n   x + 1 2 + 1   = 2 l n l n   x 2 + 2 x + 1 + 1 = 2 l n l n   x 2 + 2 x + 2    

E lembra que lá na frente da integral tinha um - 1 / 5 , então o resultado dessa parte fica assim:

- 2 5 l n l n   x 2 + 2 x + 2  

(a constante de integração vou colocar só no final tá?)

Passo 10

Por fim a segunda integral:

- 7 ∫ 1 u 2 + 1 d u

Aqui temos um denominador do tipo x 2 + a 2 , com x = u e a = 1 . E aqui é substituição trigonométrica direto!

Pela forma do denominador, a substituição é da tangente:

u = a   t g θ = t g   θ

Daí u 2 + 1 = t g 2 θ + 1 e d u = θ     d θ . Substituindo no nosso integrando temos:

- 7 ∫ 1 t g 2 θ + 1 θ   d θ

E da relação fundamental da trigonometria que envolve a secante e a tangente temos:

θ   = 1 + t g 2 θ

Olha como nosso integrando vai ficar bonitão:

- 7 ∫ θ   θ   d θ = - 7 ∫ d θ

E essa integral é tranquila! Saca só:

- 7 ∫ d θ = - 7 θ

Maaas precisamos voltar para u :

u = t g θ

θ = a r c t g ( u )

E voltar para x :

u = x + 1

Daí nosso resultado fica:

- 7 ∫ d θ =

- 7 θ =

- 7 a r c t g θ =

- 7 a r c t g ( x + 1 )

Mas lembra que na frente dessa integral lá no começo tinha um - 1 5 , daí o resultado parcial (parece tele sena, mas não é) é:

7 5 a r c t g ( x + 1 )

Agora é só juntar todos esses resultados!

Passo 11

Nossa integral original era:

∫ 3 x + 1 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) d x

Separamos em frações parciais e ficamos com (passo 6):

= ∫ 4 5 . 1 x - 1 d x   + ∫ 1 5 - 4 x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x

Daí o resultado da primeira integral tá lá no finalzinho do passo 7, e o resultado da segunda tá no fim dos passos 8 e 10:

= 4 5 l n l n   x - 1   - 2 5 l n l n   x 2 + 2 x + 2   + 7 5 a r c t g x + 1 + C

Agora sim não esquece de colocar a constante de integração! Essa é uma integral indefinida e precisamos adicionar o + C no fim, ok?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

4 5 l n l n   x - 1   - 2 5 l n l n   x 2 + 2 x + 2   + 7 5 a r c t g x + 1 + C

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