3) Para cada uma das funções abaixo, determine o formato da sua expressão em frações parciais. Aqui, não é necessário calcular as constantes mas somente apresentar o formato da soma.

f) x 2 - 3 x + 8 x 4 + 10 x 2 + 25

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Essa questãozinha aqui, pede pra gente determinar o formato que a expressão dada adotaria, para que essa fosse resolvida pelo método de integração por frações parciais!

Antes de tudo vamos relembrar o que são frações parciais então!

A utilização de frações parciais, tem como objetivo decompor uma função racional, como soma de outras funções mais simples!

Tá, mas por onde eu começo para decompor a função racional?

Cada caso é único, e por isso, devemos sempre avaliar qual o formato que os polinômios estão organizados!

Vamos lá fazer isso com a nossa função esse exercício aqui então!

Passo 2

A função que nos foi dada é a seguinte:

x 2 - 3 x + 8 x 4 + 10 x 2 + 25

Nesse caso aqui, o nosso numerador é uma expressão que não tem como ser fatorada com números racionais. Portanto, deixaremos ele do jeito que está!

Mas deixar esse numerador com um fator de x elevado ao quadrado não tem problema?

Não! É bem tranquilo pois temos uma regrinha pra isso! Já chegamos lá e eu te explico melhor!

Vamos agora avaliar o nosso denominador: x 4 + 10 x 2 + 25 .

Nesse caso aqui, como temos um fator elevado à quarta, um elevado à segunda e um que não está em função de x , podemos fazer o seguinte:

Vamos começar reescrevendo x 4 como x 2 2 .

x 2 2 + 10 x 2 + 25

Agora, vamos fazer uma substituição, deixando x 2 = u .

u 2 + 10 u + 25

Agora que reescrevemos em função de u você consegue enxergar o porquê de a gente ter feito isso?

Reescrever dessa forma permitiu que aparecesse uma expressão que pudesse ser fatorada através da regra do quadrado perfeito: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 !!

Vamos lá usar essa regrinha então! Vamos ter que:

u 2 + 10 u + 25         →           u + 5 2

Agora substituiremos u de volta:

x 2 + 5 2

Pronto! Conseguimos decompor o nosso denominador!

Mas e agora?

Passo 3

Vamos reescrever a nossa expressão com o novo denominador obtido no passo 2 anterior:

x 2 - 3 x + 8 x 2 + 5 2

Com essa nova decomposição, podemos aplicar a regrinha pra criação das frações parciais!

Essa regrinha diz que para cada fator no denominador, criaremos uma fração, usando o fator como denominador, e um valor desconhecido ( A ,   B ,   C ,   e t c ) como numerador.

Mas antes disso, lembra que ali no passo 2 eu falei pra vocês que existe uma regrinha para quando o nosso denominador estiver com um fator elevado ao quadrado? Então, temos que quando isso acontecer, E quando o denominador estiver elevado a um determinado número, devemos adotar o seguinte:

R x = P ( x ) x + a n = A x + B ( x + a ) + C x + D x + a 2 + … + Y x + Z x + a n

Onde R ( x ) é a nossa função racional e P ( x ) é o numerador!

Então, dada a nossa função:

x 2 - 3 x + 8 x 2 + 5 2

Vamos dividi-la seguindo a regra da seguinte maneira:

x 2 - 3 x + 8 x 2 + 5 2 = A x + B ( x 2 + 5 ) + C x + D x 2 + 5 2

Prontinho! Encontramos a nossa fração parcial! Bem simples, não é mesmo?

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

x 2 - 3 x + 8 x 2 + 5 2 = A x + B ( x 2 + 5 ) + C x + D x 2 + 5 2

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