Calcule

∫ 2 x - 1 2 x 2 - 7 x + 6 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 2 x - 1 2 x 2 - 7 x + 6 d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar separando em denominadores cujos fatores são os do denominador

2 x - 1 2 x 2 - 7 x + 6 = 2 ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) ( 2 x - 3 ) = A x - 2 + 2 B 2 x - 3

E agora vamos fazer o m m c

= A 2 x - 3 + B ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( 2 x - 3 )

Fazendo os produtos notáveis e organizando os termos de mesmo grau temos

x 2 A + B + ( - 3 A - 2 B ) ( x - 2 ) ( 2 x - 3 )

Beleza?

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema:

= 2 A + B = 4 - 3 A - 2 B = - 2

Resolvendo esse sistema vamos encontrar os seguintes valores para A , B :

A = 6

B = - 8

E nossa integral viram em duas!

∫ 2 x - 1 2 x 2 - 7 x + 6 d x = 6 ∫ d x x - 2 - 8 ∫ d x 2 x - 3

Ficou mais simples né?

Bora calcular?

Passo 3

Agora vamos integrar! A primeira e a segunda vamos usar substituição simples com u = x - 2 ,   d u = d x e v = 2 x - 3 , d u = 2 d x respectivamente, aí temos

6   ∫ d u u - 8 2 ∫ d v v

Agora é só integrar

6 ln ⁡ u - 4 ln ⁡ v + C

Agora voltando para a variável original temos

= 6 ln ⁡ | x - 2 | - 4 ln ⁡ 2 x - 3 + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

6 ln ⁡ | x - 2 | - 4 ln ⁡ 2 x - 3 + C

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