Calcule

∫ x 2 + 2 x - 3 2 ( x + 1 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x 2 + 2 x - 3 2 ( x + 1 ) d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar separando em denominadores cujos fatores são os do denominador

x 2 + 2 x - 3 2 ( x + 1 ) = A x - 3 + B x - 3 2 + C ( x + 1 )

E agora vamos fazer o m m c

= A x - 3 x + 1 + B x + 1 + C x - 3 2 x - 3 2 ( x + 1 )

Fazendo os produtos notáveis e organizando os termos de mesmo grau temos

x 2 A + C + x - 2 A + B - 6 C + ( - 3 A + B + 9 C ) x - 3 2 ( x + 1 )

Beleza?

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema:

= A + C = 1 - 2 A + B - 6 C = 0 - 3 A + B + 9 C = 2

Resolvendo esse sistema vamos encontrar os seguintes valores para A , B , C :

A = 2 3 20

B = 4 5

C = - 3 20

E nossa integral viram em três!

∫ x 2 + 2 x - 3 2 ( x + 1 ) d x = 23 20 ∫ d x x - 3 + 4 5 ∫ d x x - 3 2 - 3 20 ∫ d x x + 1

Ficou mais simples né?

Bora calcular?

Passo 3

Agora vamos integrar! Aplicando substituição simples em todas elas ficamos com

23 20 ln ⁡ u - 4 5 1 v - 3 20 ln ⁡ w + C

Onde u = x - 3 ,   v = x - 3 e w = x + 1 respectivamente!

Agora voltando para a variável original temos

= 23 20 ln ⁡ | x - 3 | - 3 20 ln ⁡ x + 1 - 4 5 x - 3 + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

23 20 ln ⁡ | x - 3 | - 3 20 ln ⁡ x + 1 - 4 5 x - 3 + C

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