4) Calcule cada uma das integrais abaixo:

(d) ∫ 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.

Qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:

∫ A x + 1 + B x + C x 2 + 1   d x

Perceba que esses denominadores são os parênteses do denominador original divididos!

Além disso, é legal observarmos que o segundo termo tem B x + C por conta do seu denominador ser do segundo grau, portanto precisamos de um termo de primeiro grau ( B x ) e um termo independente ( A ).

Passo 2

O que precisamos, a partir de agora, é definir A , B e C .

Relembrando, nossa função começou assim:

1 x + 1 x 2 + 1

Agora já temos:

1 x + 1 x 2 + 1 = A x + 1 + B x + C x 2 + 1

Como precisamos encontrar A , B e C , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas 1 e poderemos evoluir com as letrinhas:

1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) x + 1 x 2 + 1 = ( A ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) x + 1 + ( B x + C ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) x 2 + 1

Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos parênteses, ficando algo desse tipo:

1 = A x 2 + 1 +   B x + C x + 1

Bacana, ficou como esperávamos né?

Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:

1 = A x 2 + A + B x 2 + B x + C x + C

Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem x por último:

1 = A x 2 + B x 2 + B x + C x + A + C

Claro que essa organização não é à toa!

O número que acompanha a variável de 2º grau no lado esquerdo da equação é equivalente aos termos que acompanham as variáveis de 2º grau no lado direito. Ou seja:

0 = A + B

Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 1º grau:

0 = B + C

E como não poderia ser diferente, para as constantes:

1 = A + C

Com certeza você já percebeu né... Um sistema!

0 = A + B

0 = B + C

1 = A + C

Vamos resolver?

Isolando A :

A = - B

Isolando C :

B = - C

Substituindo na terceira equação:

1 = - B + C

1 = C + C

2 C = 1

C = 1 2

Substituindo na segunda equação:

0 = B + 1 2

B = - 1 2

Ufa! Agora que conseguimos o valor de B , podemos encontrar o restante:

A = - B

A = - - 1 2

A = 1 2

Passo 3

Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:

1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 1 / 2 x + 1 + - 1 2 x + 1 2 x 2 + 1

Calma, agora partiremos para a integral de fato!

Antes, podemos simplificar essa função:

1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 1 2 ( x + 1 ) - x - 1 2 ( x 2 + 1 )

E, portanto:

∫ 1 2 x + 1 - x - 1 2 ( x 2 + 1 ) d x

Como há subtração entre as frações, podemos dividir essa integral:

∫ 1 2 ( x + 1 ) d x - ∫ x - 1 2 ( x 2 + 1 ) d x

Outra coisa que podemos perceber é que os números 1 2 e - 1 2 são constantes em relação à x . Portanto podem ser retirados para fora da integral:

1 2 ∫ 1 ( x + 1 ) d x - 1 2 ∫ x - 1 ( x 2 + 1 ) d x

A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:

1 2 ∫ 1 x + 1 d x

Essa integral pode ser facilmente resolvida por substituição.

Se u = x + 1 , d u = d x

Ficando:

1 2 ∫ 1 u d u = 1 2   l n ⁡ | u |

Retornando:

1 2 ∫ 1 x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ | x + 1 |

Próxima integral:

1 2 ∫ x - 1 ( x 2 + 1 ) d x

Essa fração pode ser dividida em duas, certo?

1 2 ∫ x x 2 + 1 d x - ∫ 1 x 2 + 1 d x

Obtivemos duas integrais e, então, vamos calcular!

∫ x x 2 + 1 d x

Da mesma forma, resolveremos por substituição:

Se u = x 2 + 1 , d u = 2 x   d x e 1 2 d u = x   d x .

Ficando:

∫ 1 u * 1 2 d u = 1 2   l n ⁡ | u |

Retornando:

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2  ln ⁡ | x 2 + 1 |

Última integral:

∫ 1 x 2 + 1 d x

Essa é uma integral resolvida por substituição direta. Na sua tabela de integrais você verá que:

∫ 1 1 2 + x 2 = arctan ⁡ x + C

Portanto:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x

Passo 4

Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!

∫ 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ln ⁡ | x + 1 | - 1 2 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - arctan ⁡ x + C

∫ 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ln ⁡ | x + 1 | - 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 - 2 arctan ⁡ x + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 2 ln ⁡ | x + 1 | - 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 - 2 arctan ⁡ x + C

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