5) Calcule cada uma das integrais abaixo.

(f) ∫ cos ⁡ ( x ) s e n 2 x + s e n   x - 6   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o enunciado dessa questão é bem direto e não tem lá muita interpretação de texto, pra resolvermos esse exercício aqui, primeiro precisamos definir que método utilizaremos! Tá, mas como eu faço isso?

Se a gente observar bem essa integral, vamos ver que ela pode ser resolvida por integral por substituição!! Mas por que usar esse método aqui?

Vamos usar isso pra que não haja seno e cosseno na mesma função, o que pode vir a atrapalhar a gente!

Então, vamos adotar u = sin ⁡ ( x ) . Temos então que sua derivada d u será: d u = cos ⁡ ( x ) d x .

Agora podemos elaborar uma nova integral com esses valores ali em cima:

∫ 1 u 2 + u - 6

Passo 2

Vamos agora resolver essa integral!!

Antes de tudo vamos ver ali que como o denominador é um polinômio, podemos fazer a sua fatoração!

Então, vamos adotar u 2 + u - 6 como sendo ( u - 2 ) ( u + 3 ) .

Reescrevendo a nossa nova integral, temos então que:

∫ 1 ( u - 2 ) ( u + 3 )

Tá, mas e agora o que fazemos com isso?

Essa maneira que o denominador está organizado permite que nós usemos o método de integração por frações parciais, já que temos uma soma de frações presente ali!!

Então avaliando melhor esse método, como já nos diz a regra das frações parciais: para cada fator presente no denominador original (que chamaremos de F e G ), criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador, que será chamado de A ,   B ,   C entre outros.

Ótimo! Mas como vamos fazer isso? Como a nossa função vai ficar organizada?

Pra fazer essa reorganização, vamos utilizar a seguinte relação: F ( G ) , onde consideraremos F = ( u - 2 ) e G = ( u + 3 ) .

A partir disso, podemos agora criar uma fração utilizando o fator como denominador:

∫ A ( u - 2 ) + B ( u + 3 )   d x

Passo 3

Agora, você deve estar se perguntando o que fazemos com isso...

Calma! Pra gente conseguir seguir em frente vamos agora definir os valores de A e B !

Pra isso, vamos relembrar que nossa função começou assim:

1 ( u - 2 ) ( u + 3 )

Agora já temos:

1 ( u - 2 ) ( u + 3 ) = A ( u - 2 ) + B ( u + 3 )

Como precisamos encontrar A   e   B , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Fazendo isso, o lado esquerdo dessa igualdade será apenas 1 e poderemos evoluir com essas letrinhas:

1 ( u - 2 ) ( u + 3 ) ( u - 2 ) ( u + 3 ) = A ( u - 2 ) ( u + 3 ) ( u - 2 ) + B ( u - 2 ) ( u + 3 ) ( u + 3 )

Simplificando a expressão acima temos que:

1 = A u + 3 + B u - 2

1 = A u + 3 A + B u - 2 B

1 = A u + B u + 3 A - 2 B

Agora que temos a expressão dividida em uma parte que está em função de x e uma parte que não está, vamos estabelecer um sisteminha pra descobrirmos o valor de A   e de B .

Pra isso, vamos observar que do lado esquerdo da equação, temos 0 acompanhando os termos de primeiro grau, como se fosse:

0 + 1 = A u + B u + 3 A - 2 B

A partir disso, podemos fazer a seguinte relação:

A x + B x = 0

Que é a mesma coisa que:

A + B = 0           ( I )

E podemos fazer essa outra relação:

3 A - 2 B = 1           ( I I )

Então, isolando A em ( I I ) :

A = - B         ( I I I )

Agora, substituindo ( I I I ) em ( I I ) :

3 ( - B ) - 2 B = 1

B = - 1 5

Substituindo o valor de B encontrado em ( I ) temos que:

A + - 1 5 = 0

A = 1 5

Prontinho! Já temos nossos valores de A e B ! E agora?

Passo 4

Agora conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:

1 ( u - 2 ) ( u + 3 ) = 1 / 5   ( u - 2 ) + - 1 / 5 ( u + 3 )

Tá, mas parece que isso não ajudou muito ainda né? Mas calma que você já vai entender o porquê disso tudo!

Com essa nova função determinada ali em cima, podemos partir para a nossa integral de fato!!

∫ 1 / 5   ( u - 2 ) - 1 / 5 ( u + 3 )   d x

Agora vamos observar ali que temos uma subtração de frações, e constantes presentes em cada uma dessas frações. Isso vai permitir que a gente reorganize essa expressão da seguinte forma:

1 5 ∫ 1   ( u - 2 ) d x - 1 5 ∫ 1 ( u + 3 )   d x

Agora vamos resolver uma integral de cada vez, de maneira individual, no próximo passo pra ficar mais organizado!

Passo 5

Avaliando então a primeira integral:

1 5 ∫ 1   ( u - 2 ) d x

Para resolvermos essa integral, vamos utilizar o método da substituição em u . Porém, como aqui já temos a variável u , vamos utilizar outra letra: v . Faremos então o método da substituição em u , mas usando v .

Então, adotaremos v = u - 2 e d v = d u .

Então, substituindo na integral, e depois resolvendo-a, vamos ter que:

1 5 ∫ 1 v d v = 1 5 ln ⁡ v

Substituindo de volta o valor de v temos que:

1 5 ln ⁡ ( u - 2 )

Passo 6

Bora lá resolver a próxima integral que faltou lá do passo 3:

1 5 ∫ 1 ( u + 3 )   d x

Aqui vamos resolver exatamente da mesma forma que utilizamos ali no passo 4:

Vamos adotar v = u + 3 e d v = d u .

1 5 ∫ 1 v d v

Resolvendo e já substituindo u de volta:

1 5 ln ⁡ v   →     1 4 ln ⁡ u + 3

Passo 7

Agora pra finalizarmos essa questãozinha, vamos relembrar da nossa integral que queremos calcular:

1 5 ∫ 1   ( u - 2 ) d x - 1 5 ∫ 1 ( u + 3 )   d x

Juntando os resultados dessas duas integrais desenvolvidas nos passos 4 e 5 vamos ter que:

1 5 ln ⁡ ( u - 2 ) - 1 5 ln ⁡ u + 3 + C

Substituindo de volta o valor de u temos que:

1 5 ln ⁡ ( sin ⁡ ( x ) - 2 ) - 1 5 ln ⁡ sin ⁡ x + 3 + C

Lembrando que esse C é a nossa constante de integração!

Conseguimos!!!!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 5 ln ⁡ ( sin ⁡ ( x ) - 2 ) - 1 5 ln ⁡ sin ⁡ x + 3 + C

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