Calcule o comprimento da curva y = e - x com 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

O enunciado é bem direto no que ele quer que façamos! Mas como calculamos o comprimento de uma curva? Nós fazemos isso através da seguinte fórmula:

C = ∫ a b 1 - f ' x 2 d x

Em que f ' ( x ) é a derivada da função! Bora fazer esta questão!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos é calcular a derivada de nossa função! Usando que:

f x = e - x

Portanto, aplicando a regra do tombo, temos:

f ' x = d d x f ( x ) = - e - x

Vamos substituir esse resultado em nossa integral! Bora lá!

Passo 3

Temos que

C = ∫ 0 1 1 - f ' ( x ) 2 d x = ∫ 0 1 1 - - e - x 2   d x = ∫ 0 1 1 - e - 2 x d x

Para começarmos a resolver vamos fazer a seguinte substituição:

u = 1 - e - 2 x       e       d u = - - 2 e - 2 x   d x = 2 e - 2 x d x

Da relação acima, temos que e - 2 x = 1 - u , portanto, temos que

d u = 2 1 - u d x → d x = 1 2 d u 1 - u

De forma que nossa integral fica como:

∫ 0 1 1 - e - 2 x d x = 1 2 ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) u 1 - u d u = 1 2 ∫ 0 1 - e - 2 u 1 - u d u

Ainda precisamos mudar algumas coisinhas! Bora lá!

Passo 4

Vamos fazer uma segunda mudança de variáveis do tipo

v = u       e       d v = 1 2 u d u → d u = 2 v d v

E como u = v 2 , podemos reescrever nossa integral como:

1 2 ∫ 0 1 - e - 2 u 1 - u d u = 1 2 2 ∫ v 0 v 1 - e - 2 v 2 1 - v 2 d v = ∫ 0 1 - e - 2 v 2 1 - v 2 d v

Vamos reescrever isso mais um pouquinho e então poderemos aplicar frações parciais! Saca só!

Passo 5

Primeira coisa vamos trocar o sinal do denominador dentro do integrando desse jeitinho aqui

∫ 0 1 - e - 2 v 2 1 - v 2 d v = - ∫ 0 1 - e - 2 v 2 v 2 - 1 d v

Eu fiz isso só para ficar mais fácil de ver que v 2 - 1 = ( v + 1 ) ( v - 1 ) , e, portanto:

- ∫ 0 1 - e - 2 v 2 v 2 - 1 d v = - ∫ 0 1 - e - 2 v 2 ( v + 1 ) ( v - 1 ) d v

Sempre que temos um denominador que é produto de dois polinômios diferentes, podemos separar a expressão em frações parciais! Vamos fazer isso agora!

Passo 6

Pegando a fração em nosso integrando temos:

1 v + 1 ( v - 1 ) = A ( v + 1 ) + B ( v - 1 ) = A v - 1 + B ( v + 1 ) ( v + 1 ) ( v - 1 )

Note que os A e B que coloquei acima de cada termo é por conta que no denominador temos um polinômio de primeiro grau, então devo colocar um polinômio de grau 0 em cada numerador, e para a última igualdade, eu fiz um MMC. Agora, para que o lado esquerdo seja igual ao lado direito é preciso que os numeradores sejam iguais, ou seja:

1 = A v - 1 + B ( v + 1 )

Vamos resolver esta equação para as duas constantes!

Passo 7

Para que a igualdade se mantenha, os coeficientes de v devem ser iguais em ambos os lados, assim como as constantes, portanto:

A + B = 0         e           B - A = 1

Desta forma, temos que A =   - B , e portanto, B - - B = 1 → 2 B = 1 → B = 1 / 2 e A = - 1 / 2 . De forma que temos que:

1 v + 1 ( v - 1 ) = - 1 2 1 v + 1 + 1 2 1 ( v - 1 )

E nossa integral pode ser escrita como:

- ∫ 0 1 - e - 2 v 2 v + 1 v - 1 d v = 1 2 ∫ 0 1 - e - 2 v 2 v + 1 d v - 1 2 ∫ 0 1 - e - 2 v 2 v - 1 d v

Estamos quase lá! Só precisamos de mais uma substituição! Muita calma nessa hora!

Passo 8

Para primeira integral vamos fazer p = v + 1   e   d p = d v e para a segunda s = v - 1     e     d s = d v   , portanto, temos que:

1 2 ∫ 0 1 - e - 2 v 2 v + 1 d v - 1 2 ∫ 0 1 - e - 2 v 2 v - 1 d v = 1 2 ∫ p ( 0 ) p ( 1 - e - 2 ) p - 1 2 p d p - 1 2 ∫ s ( 0 ) s ( 1 - e - 2 ) ( s + 1 ) 2 s d s

Resolvendo os limites de integração e expandindo os quadrados, temos:

1 2 ∫ p ( 0 ) p ( 1 - e - 2 ) p - 1 2 p d p - 1 2 ∫ s 0 s ( 1 - e - 2 ) s + 1 2 s d s = 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 p 2 p d p + 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 - 2 p p d p + 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 1 p d p - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 s 2 s d s - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 2 s s d s - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 1 s d s

Podemos simplificar alguns termos e juntar outros, temos

1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 p 2 p d p + 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 - 2 p d p + 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 1 p d p - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 s 2 s d s - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 2 s s d s - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 1 s d s = 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 p d p - ∫ 1 1 + 1 - e - 2 d p + 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 1 p d p - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 s d s - ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 d s - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 1 s d s

Bastante coisa, mas todas estas integrais podem ser resolvidas diretamente! Bora lá!

Passo 9

Vamos usar que

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ d x = x + C

∫ 1 x = ln ⁡ ( x ) + C

Então temos que:

1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 p d p - ∫ 1 1 + 1 - e - 2 d p + 1 2 ∫ 1 1 + 1 - e - 2 1 p d p - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 s d s - ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 d s - 1 2 ∫ - 1 1 - e - 2 - 1 1 s d s = 1 2 p 2 2 1 1 + 1 - e - 2 - p 1 1 + 1 - e - 2 + 1 2 ln ⁡ p 1 1 + 1 - e - 2 - 1 2 s 2 2 - 1 1 - e - 2 - 1 - s - 1 1 - e - 2 - 1 - 1 2 ln ⁡ s - 1 1 - e - 2 - 1

Precisamos expandir cada um destes termos agora, belezinha? Lembra do teorema fundamental do cálculo? Final menos inicial! Bora lá!

Passo 10

Temos que:

1 2 p 2 2 1 1 + 1 - e - 2 - p 1 1 + 1 - e - 2 + 1 2 ln ⁡ p 1 1 + 1 - e - 2 - 1 2 s 2 2 - 1 1 - e - 2 - 1 - s - 1 1 - e - 2 - 1 - 1 2 ln ⁡ s - 1 1 - e - 2 - 1 = 1 4 1 + 1 - e - 2 2 - 1 - 1 + 1 - e - 2 - 1 + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - e - 2 - ln ⁡ 1 - 1 4 1 - e - 2 - 1 2 - - 1 2 - 1 - e - 2 - 1 - - 1 - 1 2 ln ⁡ 1 - e - 2 - 1 - ln ⁡ - 1 = →

Vamos cortar o que der para cortar e utilizar a propriedade do logaritmo para resolver aquele problema do ln ⁡ ( - 1 ) , temos

→ = 1 4 2 1 - e - 2 + 1 - e - 2 - 1 - e - 2   + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - e - 2 - 1 4 1 - e - 2 - 2 1 - e - 2 - 1 - e - 2 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 - e - 2 = →

→ = - 1 - e - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - e - 2 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 - e - 2

Finalmente, resumindo, temos:

C = - 1 - e - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - e - 2 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 - e - 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima heheheh

Resposta

C = - 1 - e - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - e - 2 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 - e - 2

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