10.2 Calcule as integrais

a) ∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x .

Como temos uma fração com uma multiplicação na parte de baixo, podemos dividir em frações parciais pra ajudar na resolução.

Lembrando que separar em frações em parciais é quando temos uma multiplicação no denominador da fração e queremos separar as parcelas dessa multiplicação:

1 ( x + a ) ( x - b ) = A x + a + B x - b

Maaas temos um caso diferente, que é quando temos parcelas iguais:

1 x + a n = A x + a + B x + a 2 + … + Z x + a n

Passo 2

Separando em frações parciais:

2 x + 2 x - 1 2 = A x + 2 + B x - 1 + C x - 1 2

Fazendo o mmc:

= A x - 1 2 x + 2 x - 1 2 + B x + 2 x - 1 ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x - 1 ) + C x + 2 x - 1 2 ( x + 2 )

= A x 2 - 2 A x + A + B x 2 + B x - 2 B + C x + 2 C x + 2 x - 1 2

Agrupando:

= A + B x 2 + - 2 A + B + C x + A - 2 B + 2 C x + 2 x - 1 2

Comparando os dois lados:

2 x + 2 x - 1 2 = A + B x 2 - 2 A + B + C x + A - 2 B + 2 C x + 2 x - 1 2

Chegamos no sistema:

A + B = 0 - 2 A + B + C = 0 A - 2 B + 2 C = 2

Resolvendo:

A = 2 9

B = 2 3

C = - 2 9

A integral, dividida em frações parciais, fica:

∫ 2 x + 2 x - 1 2 d x = ∫ A x + 2 + B x - 1 + C x - 1 2 d x

= ∫ 2 / 9 x + 2 + 2 / 3 x - 1 + ( - 2 / 9 ) x - 1 2 d x

= 2 9 ∫ 1 x + 2 d x + 2 3 ∫ 1 x - 1 d x - 2 9 ∫ 1 x - 1 2 d x

Passo 3

Agora temos três integrais pra resolver... Cada uma podemos resolver por substituição simples (já que todas são funções compostas).

- Pra primeira:

u = x + 2 → d u = d x

∫ 1 x + 2 d x = ∫ 1 u d u

= ln ⁡ u

Voltando pra x :

= ln ⁡ x + 2

- Pra segunda:

u = x - 1 → d u = d x

∫ 1 x - 1 d x = ∫ 1 u d u

= ln ⁡ u

Voltando pra x :

= ln ⁡ x - 1

- Pra terceira:

u = x - 1 → d u = d x

∫ 1 x - 1 2 d x = ∫ 1 u 2 d u

= ∫ u - 2 d u

= u - 1 - 1

= - 1 u

Voltando pra x :

= - 1 x - 1

Agora é só juntar tudo na expressão que achamos no final do passo 2:

= 2 9 ∫ 1 x + 2 d x + 2 3 ∫ 1 x - 1 d x - 2 9 ∫ 1 x - 1 2 d x

= 2 9 ln ⁡ x + 2 + 2 3 ln ⁡ x - 1 - 2 9 - 1 x - 1

= 2 9 ln ⁡ x + 2 + 2 3 ln ⁡ x - 1 + 2 9 1 x - 1

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= 2 9 ln ⁡ x + 2 + 2 3 ln ⁡ x - 1 + 2 9 1 x - 1 + C

Resposta

2 9 ln ⁡ x + 2 + 2 3 ln ⁡ x - 1 + 2 9 1 x - 1 + C

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