Calcule as integrais abaixo

∫ 0 π 2 d x 2 + cos ⁡ x d x

Passo 1

Para calcular a integral dada:

∫ 0 π 2 d x 2 + cos ⁡ x d x

Você pode usar uma substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição:

u   =   t a n ( x / 2 )

Primeiro, calcule a derivada de u em relação a x:

d u / d x   =   1 2 s e c 2 x 2

Agora, vamos expressar dx em termos de du:

d u   =   1 2 s e c 2 x 2 d x

Agora, vamos expressar cos(x) em termos de u:

c o s x = 1   -   u 2 1   +   u 2

Agora, podemos reescrever a integral usando essas substituições:

∫ 0 π 2 d x 2 + cos ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 2 2 d u 2 + 1 - y 2 1 + u 2

Passo 2

Simplificando a expressão dentro da integral:

∫ 0 π 2 d u 2 + 1 - u 2 1 + u 2 =   ∫ 0 π 2 d u ( 2 1 + u 2 + 1 - u 2 ) =   ∫ 0 π 2 d u ( 3 u 2 + 3 )

Agora, fatoramos o denominador:

∫ 0 π 2 d u 3 ( u 2 + 1 )

Agora, podemos calcular a integral:

1 3   ∫ 0 π 2 d u ( u 2 + 1 )

Passo 3

Essa integral é uma integral trigonométrica básica que pode ser resolvida usando a fórmula da tangente inversa:

1 3   [ a r c t a n ( u ) ]   |   d e   0   a t é π 2

Agora, avaliamos a integral nos limites:

1 3   a r c t a n π 2   -   a r c t a n 0

a r c t a n ( π / 2 )   é   π / 2   e   a r c t a n ( 0 )   é   0 ,   e n t ã o :

1 3   π 2   -   0   = π 6

Portanto, a integral definida ∫ 0 π 2 d x 2 + cos ⁡ x d x

é igual a π / 6 .

Resposta

π / 6 .

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