Calcule as integrais indefinidas abaixo

73 .   ∫ 4 x 2 - 3 x + 3 ( x 2 - 2 x + 2 ) ( x + 1 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 4 x 2 - 3 x + 3 ( x 2 - 2 x + 2 ) ( x + 1 ) d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar separando em denominadores cujos fatores são os do denominador

4 x 2 - 3 x + 3 ( x 2 - 2 x + 2 ) ( x + 1 ) = A x + 1 + B x + C x 2 - 2 x + 2

E agora vamos fazer o m m c

= A x 2 - 2 x + 2 + ( B x + C ) x + 1 ( x 2 - 2 x + 2 ) ( x + 1 )

Fazendo os produtos notáveis e organizando os termos de mesmo grau temos

x 2 A + B + x - 2 A + B + C + ( 2 A + C ) ( x 2 - 2 x + 2 ) ( x + 1 )

Beleza?

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema:

= A + B = 4 → B = 4 - A - 2 A + B + C = - 3 2 A + C = 3 → C = 3 - 2 A

Substituindo a primeira e a terceira na segunda temos

- 2 A + 4 - A + 3 - 2 A = - 3

- 5 A = - 3 - 7

A = 2

Resolvendo esse sistema vamos encontrar os seguintes valores para A , B , C :

A = 2

B = 2

C = 1

E nossa integral viram em três! Para separar a segunda integral em duas vamos transformar 2 x + 1 = 2 x - 2 + 3 e separamos em 2 x + 2 e 3 como numeradores das integrais. e na última ainda podemos completar quadrado para facilitar x 2 - 2 x + 2 = x - 1 2 + 1 :

∫ 4 x 2 - 3 x + 3 ( x 2 - 2 x + 2 ) ( x + 1 ) d x = 2 ∫ d x x + 1 + ∫ 2 x - 2   d x x 2 - 2 x + 2 + 3 ∫   d x x - 1 2 + 1

Ficou mais simples né?

Bora calcular?

Passo 3

Agora vamos integrar! A primeira e a segunda vamos usar substituição simples com u = x + 1 ,   d u = d x e v = x 2 - 2 x + 2 , d u = ( 2 x - 2 )   d x , aí temos

2 ln ⁡ | u | + ln ⁡ | v | + 3 ∫   d x x - 1 2 + 1

Lembrando que a integral mais à direita é a do arco tangente de ( x - 1 ) !

= 2 ln ⁡ u + ln ⁡ | v | + 3 arctan ⁡ x - 1 + C

Agora voltando para a variável original temos

= 2 ln ⁡ | x + 1 | + ln ⁡ | x 2 - 2 x + 2 | + 3 arctan ⁡ ( x - 1 ) + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

2 ln ⁡ | x + 1 | + ln ⁡ | x 2 - 2 x + 2 | + 3 arctan ⁡ ( x - 1 ) + C

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