18) Calcule as integrais seguintes:

(d) ∫ 2 x 2 + 41 x - 91 ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.

Qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:

∫ A x - 1 + B x + 3 + C x - 4   d x

Perceba que esses denominadores são os parênteses do denominador original divididos!

Passo 2

O que precisamos, a partir de agora, é definir A , B e C .

Relembrando, nossa função começou assim:

2 x 2 + 41 x - 91 x - 1 x + 3 x - 4

Agora já temos:

2 x 2 + 41 x - 91 ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) = A x - 1 + B x + 3 + C x - 4

Como precisamos encontrar A , B e C (que são simplificações de 2 x 2 + 41 x - 91 ) vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas 2 x 2 + 41 x - 91 e poderemos evoluir com as letrinhas:

( 2 x 2 + 41 x - 91 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) = ( A ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) x - 1 + ( B ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) x + 3 + ( C ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) x - 4

Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos parênteses, ficando algo desse tipo:

2 x 2 + 41 x - 91 = A x + 3 x - 4 +   B x - 1 x - 4 + ( C ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

Bacana, ficou como esperávamos né?

Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:

2 x 2 + 41 x - 91 = A x + 3 A x - 4 + B x - B x - 4 + ( C x - C ) ( x + 3 )

Perceba que temos outra distributiva ainda, que é a multiplicação entre os parênteses:

2 x 2 + 41 x - 91 = A x 2 - A x - 12 A + B x 2 - 5 B x + 4 B + C x 2 + 2 C x - 3 C

Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem x por último:

2 x 2 + 41 x - 91 = A x 2 + B x 2 + C x 2 - A x - 5 B x + 2 C x - 12 A + 4 B - 3 C

Claro que essa organização não é à toa!

O número que acompanha a variável de 2º grau no lado esquerdo da equação é equivalente aos termos que acompanham as variáveis de 2º grau no lado direito. Ou seja:

2 = A + B + C

Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 1º grau:

41 = - A - 5 B + 2 C

E como não poderia ser diferente, para as constantes:

- 91 = - 12 A + 4 B - 3 C

Com certeza você já percebeu né... Um sistema!

2 = A + B + C

41 = - A - 5 B + 2 C

- 91 = - 12 A + 4 B - 3 C

Vamos resolver?

Isolando A :

A = - B - C + 2

Substituindo na terceira equação:

- 91 = - 12 - B - C + 2 + 4 B - 3 C

- 91 = 12 B + 12 C - 24 + 4 B - 3 C

- 67 = 16 B + 9 C

B = - 67 16 - 9 C 16

Substituindo na segunda equação:

41 = - - B - C + 2 - 5 - 67 16 - 9 C 16 + 2 C

41 = B + C - 2 + 335 16 + 45 C 16 + 2 C

43 = - 67 16 - 9 C 16 + 3 C + 335 16 + 45 C 16

688 16 = - 67 16 - 9 C 16 + 48 C 16 + 335 16 + 45 C 16

688 = - 67 - 9 C + 48 C + 335 + 45 C

420 = 84 C

C = 5

Ufa! Agora que conseguimos o valor de C , podemos encontrar o restante:

B = - 67 16 - 45 16

B = - 7

A = - - 7 - 5 + 2

A = 4

Passo 3

Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:

2 x 2 + 41 x - 91 ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) = 4 x - 1 + - 7 x + 3 + 5 x - 4

Calma, agora partiremos para a integral de fato!

∫ 4 x - 1 + - 7 x + 3 + 5 x - 4 d x

Como há soma entre as frações, podemos dividir essa integral:

∫ 4 x - 1 d x + ∫ - 7 x + 3 d x + ∫ 5 x - 4 d x

Outra coisa que podemos perceber é que os números 4 , - 7 e 5 são constantes em relação à x . Portanto podem ser retirados para fora da integral:

4 ∫ 1 x - 1 d x - 7 ∫ 1 x + 3 d x + 5 ∫ 1 x - 4 d x

A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:

4 ∫ 1 x - 1 d x

Essa integral pode ser facilmente resolvida por substituição.

Se u = x - 1 , d u = d x

Ficando:

4 ∫ 1 u d u = 4   l n ⁡ | u |

Retornando:

4 ∫ 1 x - 1 d x = 4 ln ⁡ | x - 1 |

Próxima integral:

- 7 ∫ 1 x + 3 d x

Da mesma forma, resolveremos por substituição:

Se u = x + 3 , d u = d x

Ficando:

- 7 ∫ 1 u d u = - 7   l n ⁡ | u |

Retornando:

- 7 ∫ 1 x + 3 d x = - 7 ln ⁡ | x + 3 |

Última integral:

5 ∫ 1 x - 4 d x

Da mesma forma, resolveremos por substituição:

Se u = x - 4 , d u = d x

Ficando:

5 ∫ 1 u d u = 5   l n ⁡ | u |

Retornando:

5 ∫ 1 x - 4 d x = 5 ln ⁡ | x - 4 |

Passo 4

Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!

∫ 2 x 2 + 41 x - 91 ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 ) d x = 4 ln ⁡ | x - 1 | - 7 ln ⁡ x + 3 + 5 ln ⁡ x - 4 + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

4 ln ⁡ | x - 1 | - 7 ln ⁡ x + 3 + 5 ln ⁡ x - 4 + C

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