18) Calcule as integrais seguintes:

(e) ∫ d x x x + 1 2

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.

Uma dica valiosa para esse tipo de integral é que, sempre que possível, devemos abrir o denominador original da função em similares à a x + b .

Como assim?

Vamos olhar isoladamente para o denominador da função:

x x + 1 2

Isso pode ser substituído por:

F ( G 2 )

Considerando que F = x e G = x + 1 .

Como já nos fala a regra das frações parciais, para cada fator presente no denominador original (por enquanto chamamos de F e G ), criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador (normalmente chamamos de A ,   B ,   C , … ).

Ótimo! Então, qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:

∫ A x + B x + 1 2   d x

Com certeza você deve estar se perguntando... Vamos deixar x + 1 2 como um denominador?

Vamos olhar para ele no detalhe:

x + 1 2 nada mais é que x + 1 * ( x + 1 ) . E se chamarmos x + 1 = H , encontraremos:

H ( H )

Ou seja, abriremos uma fração com o fator original x + 1 2 (essa fração até já existe, B x + 1 2 ) e abriremos outra com o numerador C e denominador x + 1 .

Nossa função agora é:

∫ A x + B x + 1 2 + C x + 1 d x

Passo 2

O que precisamos, a partir de agora, é definir A , B e C .

Relembrando, nossa função começou assim:

1 x x + 1 2

Agora já temos:

1 x x + 1 2 = A x + B x + 1 2 + C x + 1

Como precisamos encontrar A , B e C , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas 1 e poderemos evoluir com as letrinhas:

1 [ x x + 1 2 ] x x + 1 2 = ( A ) x x + 1 2 x + ( B ) x x + 1 2 x + 1 2 + ( C ) x x + 1 2 x + 1

Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos termos, ficando algo desse tipo:

1 = A x + 1 x + 1 +   B x + ( C ) ( x ) ( x + 1 )

Bacana, ficou como esperávamos né?

Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:

1 = A x + A x + 1 + B x + ( C x ) ( x + 1 )

Perceba que temos outra distributiva ainda, que é a multiplicação entre os parênteses:

1 = A x 2 + 2 A x + A + B x + C x 2 + C x

Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem x por último:

1 = A x 2 + C x 2 + 2 A x + B x + C x + A

Claro que essa organização não é à toa!

Do lado esquerdo da equação, temos 0 acompanhando os termos de segundo grau e 0 acompanhando os termos de primeiro grau e 1 como termo independente. Como se fosse:

0 x 2 + 0 x + 1

Portanto, vamos juntar o termo independente do lado esquerdo da equação com o termo independente do lado direito:

1 = A

Ótimo, encontramos A !

Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 1º grau:

0 = 2 A + B + C

B = - 2 A - C

Substituindo o conhecido A :

B = - 2 - C

E como não poderia ser diferente, para os fatores de segundo grau:

0 = A + C

0 = 1 + C

C = - 1

Agora só precisamos encontrar B :

B = - 2 - ( - 1 )

B = - 1

Passo 3

Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:

1 x x + 1 2 = 1 x - 1 x + 1 2 - 1 x + 1

Calma, agora partiremos para a integral de fato!

∫ 1 x - 1 x + 1 2 - 1 x + 1 d x

Como há subtrações entre as frações, podemos dividir essa integral:

∫ 1 x d x - ∫ 1 x + 1 2 d x - ∫ 1 x + 1 d x

A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:

∫ 1 x d x

Essa integral pode ser facilmente resolvida pela tabela de substituição direta.

Ficando:

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x |

Próxima integral:

- ∫ 1 x + 1 2 d x

Essa integral, resolveremos por substituição:

Se u = x + 1 , d u = d x

Ficando:

- ∫ 1 u 2 d u = - ∫ u - 2   d u

Aplicando a integração sobre u - 2 :

- u - 1 - 1 = u - 1 = 1 u

Retornando para as variáveis iniciais:

1 u = 1 x + 1

Última integral:

- ∫ 1 x + 1 d x

Da mesma forma, resolveremos por substituição:

Se u = x + 1 , d u = d x

Ficando:

- ∫ 1 u d u = -   l n ⁡ | u |

Retornando:

- ∫ 1 x + 1 d x = - ln ⁡ | x + 1 |

Passo 4

Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!

∫ d x x x + 1 2 = 1 x + 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ | x + 1 | + C

Caso queira, podemos fazer uma simplificação usando as propriedades de l o g :

∫ d x x x + 1 2 = 1 x + 1 + ln ⁡ | x | | x + 1 | + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 x + 1 + ln ⁡ | x | | x + 1 | + C

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