18) Calcule as integrais seguintes:

(f) ∫ x 3 - 1 4 x 3 - x d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.

E essa função do item (f) tem uma característica muito especial. Perceba que o numerador da função tem o mesmo grau do denominador (terceiro grau).

Quando nos deparamos com isso, é interessante realizarmos a divisão entre os polinômios para tentarmos simplificar a função de alguma forma.

Então vamos nessa?

A divisão é montada da mesma forma que uma divisão entre números, veja:

Como não temos alguns graus, completaremos com 0 :

O primeiro quociente será x 3 4 x 3 = 1 4

Como após a divisão o resto ficou em um grau menor que o dividendo, pararemos por aqui.

Nossa função, após a divisão, é:

1 4 + x 4 - 1 4 x 3 - x

Legal! O numerador está com grau menor em relação ao denominador.

Vamos retornar para a integração:

∫ 1 4 + x 4 - 1 4 x 3 - x d x

Como 1 4 está em uma soma, podemos dividir essa integral:

∫ 1 4 d x + ∫ x 4 - 1 4 x 3 - x d x

A integral com 1 4 é bem simples e, por isso, vamos deixar ela para o final. Precisamos dar uma atenção extra para x 4 + 1 4 x 3 - x :

Vamos começar aplicando MMC no numerador:

x 4 - 1 4 x 3 - x = x - 4 4 ( 4 x 3 - x )

Retornando para a integral, retiraremos o 1 4 que é constante em relação à x :

∫ x - 4 4 ( 4 x 3 - x ) d x = 1 4 ∫ x - 4 4 x 3 - x d x

Outra simplificação que podemos fazer é no denominador, veja:

1 4 ∫ x - 4 x ( 4 x 2   - 1 ) d x

Ah, você já reparou né? 4 x 2 - 1 é um produto notável de ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) .

Portanto:

1 4 ∫ x - 4 x ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) d x

Como já nos fala a regra das frações parciais, para cada fator presente no denominador original, criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador (normalmente chamamos de A ,   B ,   C , … ).

Ótimo! Então, qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:

1 4 ∫ A x + B ( 2 x + 1 ) + C ( 2 x - 1 )   d x

Passo 2

O que precisamos, a partir de agora, é definir A , B e C .

Relembrando, nossa função (após a divisão de polinômios e retirar 1 4 por ser constante) começou assim:

x - 4 4 x 3 - x

Agora já temos:

x - 4 4 x 3 - x = A x + B ( 2 x + 1 ) + C ( 2 x - 1 )

Como precisamos encontrar A , B e C , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas x - 4 e poderemos evoluir com as letrinhas:

x - 4 ( 4 x 3 - x ) 4 x 3 - x = ( A ) ( 4 x 3 - x ) x + ( B ) ( 4 x 3 - x ) ( 2 x + 1 ) + ( C ) ( 4 x 3 - x ) ( 2 x - 1 )

Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos termos, ficando algo desse tipo:

x - 4 = A 2 x + 1 2 x - 1 +   B x ( 2 x - 1 ) + ( C ) ( x ) ( 2 x + 1 )

Bacana, ficou como esperávamos né?

Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:

x - 4 = 2 A x + A 2 x - 1 + B x ( 2 x - 1 ) + ( C x ) ( 2 x + 1 )

Perceba que temos outra distributiva ainda, que é a multiplicação entre os parênteses:

x - 4 = 4 A x 2 - A + 2 B x 2 - B x + 2 C x 2 + C x

Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem x por último:

x - 4 = 4 A x 2 + 2 B x 2 + 2 C x 2 - B x + C x - A

Claro que essa organização não é à toa!

Portanto, vamos juntar o termo independente do lado esquerdo da equação com o termo independente do lado direito:

- 4 = - A

A = 4

Ótimo, encontramos A !

Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 1º grau:

1 = - B + C

B = C - 1

E como não poderia ser diferente, para os fatores de segundo grau:

0 = 4 A + 2 B + 2 C

Como conhecemos A e B , vamos substituir:

0 = 4 4 + 2 C - 1 + 2 C

0 = 16 + 2 C - 2 + 2 C

4 C = - 14

C = - 7 2

Agora só precisamos encontrar B :

B = - 7 2 - 1

B = - 9 2

Passo 3

Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:

x - 4 4 x 3 - x = 4 x - 9 2 2 x + 1 - 7 2 ( 2 x - 1 )

Calma, agora partiremos para a integral de fato!

1 4 ∫ 4 x - 9 2 2 x + 1 - 7 2 ( 2 x - 1 ) d x

Como há subtrações entre as frações, podemos dividir essa integral:

1 4 4 ∫ 1 x d x - 9 2 ∫ 1 2 x + 1 d x - 7 2 ∫ 1 ( 2 x - 1 ) d x

A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:

4 ∫ 1 x d x

Essa integral pode ser facilmente resolvida pela tabela de substituição direta.

Ficando:

4 ∫ 1 x d x = 4  ln ⁡ | x |

Próxima integral:

- 9 2 ∫ 1 2 x + 1 d x

Essa integral, resolveremos por substituição:

Se u = 2 x + 1 , 1 2 d u = d x

Ficando:

- 9 2 ∫ 1 2 u d u = - 9 4 ∫ 1 u   d u = - 9 4 ln ⁡ | u |

Retornando para as variáveis iniciais:

- 9 4 ln ⁡ u = - 9 4 ln ⁡ | 2 x + 1 |

Última integral:

- 7 2 ∫ 1 2 x - 1 d x

Da mesma forma, resolveremos por substituição:

Se u = 2 x - 1 , 1 2 d u = d x

Ficando:

- 7 2 ∫ 1 2 u d u = - 7 4 ∫ 1 u d u = - 7 4   l n ⁡ | u |

Retornando:

- 7 2 ∫ 1 2 x - 1 d x = - 7 4  ln ⁡ | 2 x - 1 |

Passo 4

Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer que deixamos alguns caras para depois!

∫ 1 4 d x

Vamos calcular?

1 4 é constante em relação à x , portanto:

1 4 ∫ 1   d x

Essa integral é uma substituição direta, certo?

Então:

1 4 ∫ 1   d x = 1 4 x

Agora, vamos trazer o restante da integral (não se esqueça da Constante de Integração):

∫ x 3 - 1 4 x 3 - x d x = 1 4 x + 1 4 4 ln ⁡ x - 9 4 ln ⁡ 2 x + 1 - 7 4 ln ⁡ 2 x - 1 + C

Podemos encontrar o MMC dos termos dentro dos parênteses:

∫ x 3 - 1 4 x 3 - x d x = 1 4 x + 1 4 16 ln ⁡ x - 9 ln ⁡ 2 x + 1 - 7 ln ⁡ | 2 x - 1 | 4 + C

Como temos 1 4 constante nos parênteses, podemos retirar:

∫ x 3 - 1 4 x 3 - x d x = 1 4 x + 1 16 16 ln ⁡ x - 9 ln ⁡ 2 x + 1 - 7 ln ⁡ | 2 x - 1 | + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

1 4 x + 1 16 16 ln ⁡ x - 9 ln ⁡ 2 x + 1 - 7 ln ⁡ | 2 x - 1 | + C

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