18) Calcule as integrais seguintes:

(g) ∫ x 3 + x + 1 x ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.

A primeira coisa que faremos é aplicar a distributiva no denominador. A ideia é simplificar a função:

x 3 + x + 1 x 3 + x

E essa função do item (g) tem uma característica muito especial. Perceba que o numerador da função tem o mesmo grau do denominador (terceiro grau).

Quando nos deparamos com isso, é interessante realizarmos a divisão entre os polinômios para tentarmos simplificar a função de alguma forma.

Então vamos nessa?

A divisão é montada da mesma forma que uma divisão entre números, veja:

Como não temos alguns graus, completaremos com 0 :

O primeiro quociente será x 3 x 3 = 1

Como após a divisão o resto ficou em um grau menor que o dividendo, pararemos por aqui.

Nossa função, após a divisão, é:

1 + 1 x 3 + x

Legal! O numerador está com grau menor em relação ao denominador.

Vamos retornar para a integração:

∫ 1 + 1 x 3 + x d x

Como 1 está em uma soma, podemos dividir essa integral:

∫ 1   d x + ∫ 1 x 3 + x d x

A integral com 1 é bem simples e, por isso, vamos deixar ela para o final. Precisamos dar uma atenção extra para 1 x 3 + x :

Vamos isolar x no denominador:

1 x 3 + x = 1 x ( x 2 + 1 )

Como já nos fala a regra das frações parciais, para cada fator presente no denominador original, criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador (normalmente chamamos de A ,   B ,   C , … ).

Ótimo! Então, qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:

A x + B x + C x 2 + 1

Perceba que o fator x 2 + 1 é de segundo grau, ou de segunda ordem. Por isso, se faz necessário inserir 2 variáveis no numerador (colocamos B e C ).

Passo 2

O que precisamos, a partir de agora, é definir A , B e C .

Relembrando, nossa função começou assim:

1 x 3 + x

Agora já temos:

1 x 3 + x = A x + B x + C x 2 + 1

Como precisamos encontrar A , B e C , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas x - 4 e poderemos evoluir com as letrinhas:

1 ( x 3 + x ) x 3 + x = ( A ) ( x 3 + x ) x + ( B x + C ) ( x 3 + x ) x 2 + 1

Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos termos, ficando algo desse tipo:

1 = A x 2 + 1 +   B x + C ( x )

Bacana, ficou como esperávamos né?

Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:

1 = A x 2 + A + B x 2 + C x

Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem x por último:

1 = A x 2 + B x 2 + C x + A

Claro que essa organização não é à toa!

Do lado esquerdo da equação, temos 0 acompanhando os termos de segundo grau e 0 acompanhando os termos de primeiro grau e 1 como termo independente. Como se fosse:

0 x 2 + 0 x + 1

Portanto, vamos juntar o termo independente do lado esquerdo da equação com o termo independente do lado direito:

1 = A

Ótimo, encontramos A !

Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 1º grau:

0 = C

E como não poderia ser diferente, para os fatores de segundo grau:

0 = A + B

Como conhecemos A , vamos substituir:

0 = 1 + B

B = - 1

Passo 3

Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:

1 x 3 + x = 1 x - x x 2 + 1

Calma, agora partiremos para a integral de fato!

∫ 1 x - x x 2 + 1 d x

Como há subtração entre as frações, podemos dividir essa integral:

∫ 1 x d x - ∫ x x 2 + 1 d x

A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:

∫ 1 x d x

Essa integral pode ser facilmente resolvida pela tabela de substituição direta.

Ficando:

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x |

Próxima integral:

- ∫ x x 2 + 1 d x

Essa integral, resolveremos por substituição:

Se u = x 2 + 1 , d u = 2 x   d x ; 1 2 d u = x   d x

Ficando:

- ∫ 1 2 u d u = - 1 2 ∫ 1 u   d u = - 1 2 ln ⁡ | u |

Retornando para as variáveis iniciais:

- 1 2 ln ⁡ u = - 1 2 ln ⁡ | x 2 + 1 |

Passo 4

Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer que deixamos alguns caras para depois!

∫ 1   d x

Vamos calcular?

Essa integral é uma substituição direta, certo?

Então:

∫ 1   d x = x

Agora, vamos trazer o restante da integral (não se esqueça da Constante de Integração):

∫ x 3 + x + 1 x ( x 2 + 1 ) d x = x + ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + C

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

x + ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ | x 2 + 1 | + C

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2d x
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2d y
Calcule.int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x
Calcule a integralint (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x