Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule a integral:

∫ - 2 - 1 x + 1 2 x - x 2 d x

Passo 1

Veja que podemos escrever o integrando na forma: x + 1 2 x - x 2 = x + 1 x 2 - x

Podemos separar isso na forma de frações parciais: x + 1 x 2 - x = A x + B 2 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar esse A e B . Para isso, juntamos novamente: A x + B 2 - x = A 2 - x + B x x 2 - x = 2 A - A x + B x x 2 - x

Passo 3

Juntamos os termos de mesmo grau: B - A x + 2 A x 2 - x = 1 ⋅ x + 1 x 2 - x

Comparando os coeficientes: B - A = 1 2 A = 1

Passo 4

Resolvendo esse sistema, temos: A = 1 2

B = 3 2

Ou seja, temos: x + 1 x 2 - x = 1 / 2 x + 3 / 2 2 - x = 1 2 1 x + 3 2 - x

Passo 5

Ou seja, podemos escrever na forma: ∫ - 2 - 1 x + 1 2 x - x 2 d x = 1 2 ∫ - 2 - 1 1 x d x + 1 2 ∫ - 2 - 1 3 2 - x d x

Essas integrais são mais simples de resolver. Temos: 1 2 ∫ - 2 - 1 1 x d x = 1 2 ln ⁡ x - 2 - 1 = 1 2 ln ⁡ - 1 - ln ⁡ - 2 = - 1 2 ln ⁡ 2

Para a outra, fazemos a substituição u = 2 - x , com d u = - d x , u m i n = 2 — 2 = 4 e u m a x = 2 — 1 = 3 ficando: 1 2 ∫ - 2 - 1 3 2 - x d x = 1 2 ∫ - 2 - 1 3 2 - x d x = - 3 2 ∫ 4 3 1 u d u = - 3 2 ln ⁡ u 4 3 = - 3 2 ln ⁡ 3 + 3 2 ln ⁡ 4 =

- 3 2 ln ⁡ 3 / 4

Passo 6

Logo, temos:

∫ - 2 - 1 x + 1 2 x - x 2 d x = - 1 2 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3 / 4

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