Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Calcule a integral

∫ 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 ) d x

Passo 1

Viu uma função algébrica no numerador e no denominador? Frações parciais hahaha simples assim!

A gente vai ter que seara ai esse denominador. Serão três parcelas. CUIDADO!! São 3 parcelas, não duas.

Um erro comum aqui é fazer :

a x + 2 2 + b x - 1

Observa que ali temos no denominador um QUADRADO. Isso faz com que tenhamos que separar as parcelas em:

a x + 2   + b x + 2 2 + c x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Somando então isso daí temos:

a x + 2   + b x + 2 2 + c x - 1 = 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 )

a x + 2 x - 1 + b x - 1 + c x + 2 2 x + 2 2 ( x - 1 ) = 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 )

a x 2 - a x + a 2 x - a 2 + b x - b + c x 2 + c 4 x + c 4 x + 2 2 ( x - 1 ) = 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 )

x 2 a + c + x - a + 2 a + b + 4 c + ( - 2 a - b + 4 c ) x + 2 2 ( x - 1 ) = 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 )

Precisamos então que os numeradores sejam iguais, certo? Tranquilinho!

a + c = 4 - a + 2 a + b + 4 c = 14 - 2 a - b + 4 c = 9

Três equações e três incógnitas, maravilha, ficamos então com:

a = 1

b = 1

c = 3

Passo 3

Voltando então pra integral temos:

∫ 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 ) d x = ∫ a x + 2   + b x + 2 2 + c x - 1   d x

∫ 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 ) d x = ∫ 1 x + 2   + 1 x + 2 2 + 3 x - 1   d x

Separando em 3 integrais temos:

∫ 1 x + 2     d x + ∫ 1 x + 2 2   d x + ∫ 3 x - 1   d x

Passo 4

Da primeira e terceira integral já temos diremos como resultado:

∫ 1 x + 2     d x = ln ⁡ | x + 2 |

∫ 3 x - 1   d x = 3 ln ⁡ | x - 1 |

Na segunda vamos fazer uma substituição simples rapidinho:

∫ 1 x + 2 2   d x

u = x + 2

d u = d x

∫ 1 u 2   d u = - 1 u = - 1 x + 2  

Resposta final fica então sendo:

∫ 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 ) d x = ln ⁡ | x + 2 | - 1 x + 2   + 3 ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ 4 x 2 + 14 x + 9 x + 2 2 ( x - 1 ) d x = ln ⁡ | x + 2 | - 1 x + 2   + 3 ln ⁡ x - 1 + C

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