Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2012.1, Questão 1b

Calcule a seguinte integral:

1 x 2 - 3 x d x

Passo 1

Hmm, polinômio no denominador, isso está com cara de frações parciais. Temos que

1 x 2 - 3 x d x = 1 x x - 3 d x

Vamos decompor o integrando em frações parciais, dessa forma:

1 x x - 3 = A x + B x - 3

Botando tudo no mesmo denominador:

A x - 3 + B x x x - 3 = A x - 3 A + B x x x - 3 = A + B x - 3 A x x - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualando:

1 x x - 3 = A + B x - 3 A x x - 3

Caímos num sistema:

A + B = 0 - 3 A = 1

Pela 2ª equação, temos

A = - 1 3

Substituindo na 1ª:

B = 1 3

Portanto:

1 x x - 3 = - 1 3 x + 1 3 x - 3 = 1 3 1 x - 3 - 1 x

Passo 3

Facilitou nossa vida pra integrar:

1 x x - 3 d x = 1 3 1 x - 3 - 1 x d x

= 1 3 d x x - 3 - d x x

Passo 4

As duas integrais que apareceram são tranquilas:

d x x - 3 = ln x - 3 + C

d x x = ln x + C

Então, juntando essas duas, temos que

1 x 2 - 3 x d x = 1 3 ln x - 3 - ln x + C

Se quiser, usando a propriedade do logaritmo

ln a - ln b = ln a b

Vai ficar:

1 3 ln x - 3 x + C

Resposta

1 3 ln x - 3 x + C

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