Calcule a seguinte integral:

∫ 1 x 2 - 3 x d x

Passo 1

Hmm, polinômio no denominador, isso está com cara de frações parciais. Temos que

∫ 1 x 2 - 3 x d x = ∫ 1 x x - 3 d x

Vamos decompor o integrando em frações parciais, dessa forma:

1 x x - 3 = A x + B x - 3

Botando tudo no mesmo denominador:

A x - 3 + B x x x - 3 = A x - 3 A + B x x x - 3 = A + B x - 3 A x x - 3

Passo 2

Igualando:

1 x x - 3 = A + B x - 3 A x x - 3

Caímos num sistema:

A + B = 0 - 3 A = 1

Pela 2ª equação, temos

A = - 1 3

Substituindo na 1ª:

B = 1 3

Portanto:

1 x x - 3 = - 1 3 x + 1 3 x - 3 = 1 3 1 x - 3 - 1 x

Passo 3

Facilitou nossa vida pra integrar:

∫ 1 x x - 3 d x = ∫ 1 3 1 x - 3 - 1 x d x

= 1 3 ∫ d x x - 3 - ∫ d x x

Passo 4

As duas integrais que apareceram são tranquilas:

∫ d x x - 3 = ln ⁡ x - 3 + C

∫ d x x = ln ⁡ x + C

Então, juntando essas duas, temos que

∫ 1 x 2 - 3 x d x = 1 3 ln ⁡ x - 3 - ln ⁡ x + C

Se quiser, usando a propriedade do logaritmo

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Vai ficar:

1 3 ln ⁡ x - 3 x + C

Resposta

1 3 ln ⁡ x - 3 x + C

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