Calcule a seguinte integral:

∫ 3 x - 4 x - 3 x + 2 d x

Passo 1

Divisão de polinômios?? Essa é a deixa pra gente mandar frações parciais! Vamos fazer o seguinte:

3 x - 4 x - 3 x + 2 = A x - 3 + B x + 2

Botando tudo no mesmo denominador:

A x - 3 + B x + 2 = A x + 2 + B x - 3 x - 3 x + 2

= A x + 2 A + B x - 3 B x - 3 x + 2 = A + B x + 2 A - 3 B x - 3 x + 2

Passo 2

Igualando:

3 x - 4 x - 3 x + 2 = A + B x + 2 A - 3 B x - 3 x + 2

Assim caímos no sistema:

A + B = 3 2 A - 3 B = - 4

Pela 1ª equação:

A = 3 - B

Substituindo na 2ª:

2 3 - B - 3 B = - 4

6 - 2 B - 3 B = - 4

- 5 B = - 10

→ B = 2

Logo:

A = 3 - 2 = 1

Passo 3

Utilizando isso na integral:

∫ 3 x - 4 x - 3 x + 2 d x = ∫ 1 x - 3 + 2 x + 2 d x

O que vai dar:

ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ x + 2 + C

Pronto! :)

Resposta

ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ x + 2 + C

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