Calcule as seguintes integrais:

a) ∫ 7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos que calcular a integral da função 7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 . Analisando a função, vemos que calcular sua integral desse jeito não vai ser uma tarefa tão fácil, porém podemos aplicar um truque nessa fração que vai facilitar e muito nossa vida.

Esse truque consiste em obter as frações parciais da função!

Ta sabendo como podemos fazer isso?

Obter as frações parciais de uma fração é como se a gente dividisse nossa fração em somas de outras frações mais simples. Esse método é muito usado em assuntos mais avançados.

Aplicando as frações parciais na função, consequentemente as integrais que vamos obter são ser mais simples também.

Bora ver como isso funciona? 😉

Passo 2

Calculando as frações parciais da função percebemos que os denominadores já estão separados em produtos, se não estivessem íamos ter que separa-los.

Para cada produto, temos que ter uma constante que ainda não conhecemos, por exemplo

7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 = A x + 2 + B x - 1 + C x - 3

Tirando o MMC do lado direito, temos

7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 = x - 1 x - 3 A + x + 2 x - 3 B + x + 2 x - 1 C x + 2 x - 1 x - 3

Simplificando os dois denominadores

7 x - 1 = x - 1 x - 3 A + x + 2 x - 3 B + x + 2 x - 1 C

Agora precisamos desenvolver os produtos do lado direito da equação

7 x - 1 = A x 2 - 4 A x + 3 A + B x 2 - B x - 6 B + C x 2 + C x - 2 C

Colocando x 2 , x e as constante em evidência, temos

7 x - 1 = A + B + C x 2 + - 4 A - B + C x + 3 A - 6 B - 2 C

Com isso, por igualdade de polinômios temos o seguinte sistema

0 x 2 + 7 x - 1 = A + B + C x 2 + - 4 A - B + C x + 3 A - 6 B - 2 C

A + B + C = 0 - 4 A - B + C = 7 3 A - 6 B - 2 C = - 1

Temos que resolver esse sistema, transformando em matriz

1 1 1 0 - 4 - 1 1 7 3 - 6 - 2 - 1

Escalonando pela forma escada, que consiste em fazer operações nas linhas da matriz para que a diagonal principal seja formada por 1 e os elementos das suas colunas formados por 0 .

Entendeu? Bora resolver esse escalonamento! 🐱‍👤

Passo 3

Se multiplicarmos a linha 1 por 4 e somar na linha dois ao mesmo tempo que multiplicarmos a linha 1 por 3 e subtraímos na linha 3, temos

1 1 1 0 - 4 - 1 1 7 3 - 6 - 2 - 1 L 2 → L 2 + 4 L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1 → 1 1 1 0 0 3 5 7 0 - 9 - 5 - 1

Agora multiplicamos a linha 2 por 1 / 3 e subtraímos na linha 1 ao mesmo tempo que multiplicamos a linha 2 por 3 e somamos na linha 3

1 1 1 0 0 3 5 7 0 - 9 - 5 - 1 L 1 → L 1 - L 2 / 3 L 3 → L 3 + 3 L 2 → 1 0 - 2 3 - 7 3 0 3 5 7 0 0 10 20

Dividindo a linha 2 por 3 e a linha 3 por 10 , temos

1 0 - 2 3 - 7 3 0 1 5 3 7 3 0 0 1 2

Por fim, multiplicando a linha 3 por 3 / 5 e subtraindo na linha 2 ao mesmo tempo que multiplicamos a linha 3 por 3 / 2 e somamos na linha 1 , vamos obter

1 0 - 2 3 - 7 3 0 1 5 3 7 3 0 0 1 2 L 1 → L 1 + 2 3 L 3 L 2 → L 2 - 5 3 L 3 → 1 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 1 2

Com isso, descobrimos que

A = - 1 B = - 1 C = 2

Logo nossa fração parcial será

7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 = - 1 x + 2 - 1 x - 1 + 2 x - 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Dessa forma, podemos escrever nossa integral como

∫ 7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 d x = ∫ - 1 x + 2 - 1 x - 1 + 2 x - 3 d x

E como a integral de uma soma é igual a soma das integrais, temos

- ∫ 1 x + 2 d x - ∫ 1 x - 1 d x + ∫ 2 x - 3 d x

Essa integral é muito parecida com algo que já conhecemos, não é?

Pelo teorema fundamental do cálculo, quando temos uma integral dessa forma, onde C 1 e C 2 são constantes

∫ C 1 x + C 2 d x = C 1 ln ⁡ x + C 2 + C

Portanto

∫ 1 x + 2 d x = ln ⁡ x + 2 + C

∫ 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1 + C

∫ 2 x - 3 d x = 2 ln ⁡ x - 3 + C

Substituindo os resultados dessas integrais na soma das integrais, temos

∫ 7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 d x = - ln ⁡ x + 2 - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x - 3 + C

Ficou mais tranquilo simplificando a função inicial por meio de frações parciais?

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 7 x - 1 x + 2 x - 1 x - 3 d x = - ln ⁡ x + 2 - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x - 3 + C

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