Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Calcule as seguintes integrais indefinidas

b ) ∫ 3 e 2 x + 2 e x e x - 2 e 2 x + 4 d x

Passo 1

Salta aos olhos que este negócio tem e x demais, né? Não estou com saco para isso não, vou substituir u = e x para ficar mais bonito:

u = e x ; d u = e x d x

∫ 3 e 2 x + 2 e x e x - 2 e 2 x + 4 d x = ∫ 3 e x + 2 e x - 2 e 2 x + 4 e x d x

= ∫ 3 u + 2 u - 2 u 2 + 4 d u

Pera aí! Essa é a cara clássica de uma integral por frações parciais. Já está até fatorado bonitinho para fazermos a análise:

3 u + 2 u - 2 u 2 + 4 = A u - 2 + B u + C u 2 + 4

3 u + 2 u - 2 u 2 + 4 = A u 2 + 4 + B u + C u - 2 u - 2 u 2 + 4

0 u 2 + ( 3 ) u + ( 2 ) u - 2 u 2 + 4 = A + B u 2 + C - 2 B u + ( 4 A - 2 C ) u - 2 u 2 + 4

Vamos resolver o sistema que ficou aí:

A + B = 0 C - 2 B = 3 4 A - 2 C = 2

A = 1 ; B = - 1 ; C = 1

Agora a integral vai ficar separada assim:

∫ 3 u + 2 u - 2 u 2 + 4 d u = ∫ 1 u - 2 + - u u 2 + 4 + 1 u 2 + 4 d u

As duas primeiras integrais saem por substituição simples gerando logaritmo:

∫ 1 u - 2 d u ,     y = u - 2 → d y = d u

∫ 1 y d y = ln ⁡ y = ln ⁡ ( u - 2 )

∫ - u u 2 + 4 d u ,     z = u 2 + 4 → d z = 2 u   d u

∫ - 1 2 d z z = ln ⁡ z - 2 = - ln ⁡ u 2 + 4 2

A última vai precisar de uma leve mexida para cair numa integral conhecida. Fazemos uma divisão por 4 em cima e embaixo, olha como sai:

∫ 1 u 2 + 4 d u = ∫ 1 / 4 u 2 2 + 1 d u

Fazendo w = u 2 , com d w = d u 2 → d w 2 = d u 4 :

∫ 1 / 4 u 2 2 + 1 d u = ∫ d w / 2 w 2 + 1

É a cara da integral do arcotangente!

∫ d w / 2 w 2 + 1 = arctg ⁡ w 2 = arctg ⁡ u 2 2

Ou seja,

∫ 3 u + 2 u - 2 u 2 + 4 d u = ln ⁡ ( u - 2 ) - ln ⁡ u 2 + 4 2 + arctg ⁡ u 2 2

Só que u = e x , né? Botamos isso e acabou!

ln ⁡ ( e x - 2 ) - ln ⁡ e 2 x + 4 2 + arctg ⁡ e x 2 2

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Resposta

∫ 3 e 2 x + 2 e x e x - 2 e 2 x + 4 d x = ln ⁡ ( e x - 2 ) - ln ⁡ e 2 x + 4 2 + arctg ⁡ e x 2 2 + C

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