Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:

∫ x ³ x 2 - 2 x + 1 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para resolvermos o nosso exercício, primeiro a gente precisa dar uma relembrada em como funciona o método das frações parciais.

A gente sempre vai cogitar usar o método das frações parciais sempre que o grau do polinômio do nosso numerador for menor que o do polinômio do denominador. Vamos conferir:

∫ x ³ x 2 - 2 x + 1 d x

Reparem que

x ³ → g r a u   3

x 2 - 2 x + 1 → g r a u   2

Vish galera, reparem que o grau do numerador é maior que o do denominador. E agora? Bom, vamos ter que reduzir o grau desse polinômio. Vamos começar dividindo o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:

x 3 x 2 = x

Agora vamos multiplicar pelo denominador:

x x 2 - 2 x + 1 = x 3 - 2 x 2 + x

Agora vamos subtrair do numerador pelo resultado que tivemos acima:

x 3 - x 3 - 2 x 2 + x = 2 x 2 - x

E agora, vamos somar o que achamos na primeira etapa com a da última divido pelo denominador inicial:

x + 2 x 2 - x x 2 - 2 x + 1

Boa, conseguimos reduzir o polinômio do denominar para grau 2. Mas reparem que ele ainda não é menor que o do denominador, então vamos reduzir mais uma vez. Repetindo todas as etapas anteriores:

2 x 2 x 2 = 2

Agora vamos multiplicar pelo denominador:

2 x 2 - 2 x + 1 = 2 x 2 - 4 x + 2

Agora vamos subtrair do numerador pelo resultado que tivemos acima:

2 x 2 - x - 2 x 2 - 4 x + 2 = 3 x - 2

E agora, vamos somar o que achamos na primeira etapa com a da última divido pelo denominador inicial:

2 + 3 x - 2 x 2 - 2 x + 1

No final de tudo, podemos dizer que:

∫ x ³ x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ x + 2 + 3 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x

Boa galera, agora sim vamos começar a resolver a nossa integral por frações parciais.

Segunda etapa é entender o tipo de polinômio que nós temos no denominador e se temos raízes distintas ou repetidas:

x 2 - 2 x + 1

Reparem que nós podemos fatorar:

x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x - 1 )

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ 3 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x

Show, e pelo método das frações parciais, vamos fazer o ajuste:

3 x - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) = A ( x - 1 ) + B x - 1 ²

Se a gente for calcular o MMC, vamos ter?

3 x - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) = A ( x - 1 ) ( x - 1 ) ² + B x - 1 ²

Logo:

3 x - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) = A x - A + B ( x - 1 ) ²

Show, com isso, nós vamos montar 1 sistema!

Passo 3

Show galera, vamos pegar as informações que coletamos no Passo anterior:

3 x - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) = A x - A + B ( x - 1 ) ² = A x + ( - A + B ) ( x - 1 ) ²

Com isso, vamos ter o seguinte sistema:

A = 3 - A + B = - 2

Show, já temos pelo nosso sistema o valor de A . Vamos calcular os restantes:

- A + B = - 2

- 3 + B = - 2 → B = 1

Perfeito galera, já temos todos os valores das nossas letras. Agora, podemos finalmente substituir na nossa primeira igualdade feita no Passo 2:

3 x - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) = A ( x - 1 ) + B x - 1 ²

3 x - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) = 3 ( x - 1 ) + 1 x - 1 ²

Substituindo isso na nossa integral:

∫ x + 2 + 3 x - 2 x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ x + 2 + 3 ( x - 1 ) + 1 x - 1 ² d x

Muito maneiro né galera? Agora podemos resolver a nossa integral sem problemas.

Passo 4

Vamos calcular!

∫ x + 2 + 3 ( x - 1 ) + 1 x - 1 ² d x

De forma simples e rápida, vamos lembrar que:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Então:

∫ x + 2 + 3 ( x - 1 ) + 1 x - 1 ² = x 2 2 + 2 x + 3 ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1 + C

Resposta

∫ x ³ x 2 - 2 x + 1 d x = x 2 2 + 2 x + 3 ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1 + C

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