Calcule as seguintes integrais:

a) ∫ 3 x + 1 x - x 3   d x  

Passo 1

Fala aí turminha, tudo bem? Vamos pra cima dessa questão! Pra nossa integral:

∫ 3 x + 1 x - x 3   d x

Temos algumas formas de resolver elas. A que vamos adotar pra essa resolução vai ser o método de frações parciais. Ela é uma boa estratégia pra quando temos um integral vindo de uma divisão de polinômios. Você sabe utilizar esse método? Vem comigo que vou te ensinar!

Passo 2

Pelo método de frações parciais, primeiro vamos observar o denominador e escrever ele de outra forma, dividindo-o em produtos de polinômios mais simples. Temos que o nosso denominador é:

x - x 3

Ele pode ser dividido em:

x - x 3 = ( x ) ( 1 - x 2 )

E dividindo ele mais uma vez:

x - x 3 = ( x ) ( 1 - x ) ( 1 + x )

Vamos chamar cada produto de uma f N ( x ) . Dessa forma:

f 1 x = x

f 2 x = 1 - x

f 3 x = 1 + x

Show, denominador dividido. E o numerador, o que a gente faz com ele? Agora vem a parte mais fácil. Vamos chamar eles de A, B e C. Pois pelo método de frações parciais, nossa função vai ficar no seguinte formato:

3 x + 1 x - x 3 = A f 1 ( x ) + B f 2 ( x ) + C f 3 ( x )

Logo, 3 x + 1 x - x 3 = A x + B 1 - x + C 1 + x

Passo 3

Agora a ideia é a gente multiplicar esse produtasso e a partir disso separar em um sistema de 3 variáveis. Olha só:

3 x + 1 x - x 3 = A x + B 1 - x + C 1 + x

Levando o denominador pra multiplicar a função, temos:

3 x + 1 1 = A x + B 1 - x + C 1 + x ( x - x 3 )

3 x + 1 = A 1 - x 1 + x + B x 1 + x + C x ( 1 - x )

Logo,

3 x + 1 = x 2 - A + B - C + x B + C + A

Por semelhança a partir da igualdade, podemos inferir que:

- A + B - C = 0   B + C = 3   A = 1      

Passo 4

Resolvendo esse sistema obtemos A = 1 , B = 2 e C = 1 . Agora vamos voltar para o formato de frações parciais.

∫ 3 x + 1 x - x 3   d x = ∫ A x + B 1 - x + C 1 + x   d x

Mas acabamos de descobrir o valor de cada letra, portanto:

∫ A x + B 1 - x + C 1 + x   d x = ∫ 1 x + 2 1 - x + 1 1 + x   d x

E vamos resolver essas integrais, obtendo:

∫ 1 x + 2 1 - x + 1 1 + x   d x = l n l n   x   - 2 l n l n   1 - x   + l n l n   1 + x   + C  

Resposta

l n l n   x   - 2 l n l n   1 - x   + l n l n   1 + x   + C  

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