Calcule

∫ x 2 + 4 x x 2 - 4 d x

Passo 1

Vamos assim, começamos abrindo os dois polinômios para forma mais primitiva que conseguirmos:

x 2 + 4 x = x x + 4

x 2 - 4 = ( x + 2 ) ( x - 2 )

Voltando ao termo inicial, seria legal dividr o polinômio de cima pelo de baixo, pois assim o grau de baixo seria maior que o de cima e poderíamos usar frações parciais.

x 2 + 4 x x 2 - 4 = x 2 - 4 + 4 + 4 x x 2 - 4

= 1 + 4 x + 4 x 2 - 4

= 1 + 4 x + 4 ( x + 2 ) ( x - 2 )

Vamos volta à integral com esse termo e usar frações parciais:

∫ 1 + 4 x + 4 x + 2 x - 2 d x

= ∫ d x + ∫ 4 x + 4 x + 2 x - 2 d x

A primeira integral é mole, a outra precisa ser resolvida com frações parciais:

4 x + 4 x + 2 x - 2 = A x + 2 + B x - 2

4 x + 4 x + 2 x - 2 = A x - 2 + B ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

4 x + 4 x + 2 x - 2 = A + B x + ( 2 B - 2 A ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

A + B = 4           2 B - 2 A = 4

B = 3 ; A = 1

Logo, ficamos com

4 x + 4 x + 2 x - 2 = 1 x + 2 + 3 x - 2

Assim, a integral será

= ∫ d x + ∫ 1 x + 2 + 3 x - 2 d x

= x + ln ⁡ ( x + 2 ) + 3 ln ⁡ ( x - 2 ) + C

Resposta

∫ x 2 + 4 x x 2 - 4 d x = x + ln ⁡ ( x + 2 ) + 3 ln ⁡ ( x - 2 ) + C

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48. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função