Determinar a integral ∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 x 4 + 9 x 2 d x

a ) Na resolução desta integral foi obtido valores para os fatores A = 3 ; B = - 3 ; C = 10 / 8 e D = 0 e a resposta final foi correspondente a 8,45 .

b ) Na resolução desta integral foi obtido valores para os fatores A = 2 / 3 ; B = - 3 ; C = 10 / 3 e D = 0 e a resposta final foi correspondente a 6,23 .

c ) Na resolução desta integral foi obtido valores para os fatores A = 5 ; B = - 3 ; C = 12 e D = - 3 e a resposta final foi correspondente a 11,48 .

d ) Na resolução desta integral foi obtido os valores para os fatores A = 0 ; B = 0 - 2 ; C = 10 / 3 e D = - 1 e a resposta final não foi possível determinar.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Surpreendentemente esta é uma questão de alternativas! Mas pelo formato da integral com polinômios enormes, e de ordem superior é fácil estar tentado a utilizar frações parciais! Até mesmo o formato das próprias alternativas parece sugerir isso! Vamos então tentar identificar um produto notável no denominador e separar o nosso integrando em frações parciais! Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte integral

∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 x 4 + 9 x 2 d x

O denominador pode ser separado como

x 4 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 + 9 )

Ambos são irredutíveis, portanto, se quisermos separar em frações parciais teremos que escrever da seguinte forma

1 x 2 ( x 2 + 9 ) = A x + B x 2 + C x + D x 2 + 9

Note que temos um polinômio de grau 1 com multiplicidade 2 , sendo este o x , e ele nos leva aos dois primeiros termos com apenas constantes no numerador, e temos um polinômio de grau 2 com multiplicidade 1 , que resulta no termo com um polinômio de grau 1 no numerador. Isso vai nos resultar em um sistema de equações lineares! Vamos ver como!

Passo 3

Vamos multiplicar os dois lados por x 2 ( x 2 + 9 ) (Ou fazer MMC, você que sabe), temos

1 = A x ( x 2 + 9 ) + B ( x 2 + 9 ) + C x + D x 2

Vamos expandir os produtos e colocar x 3 , x 2 e x em evidência para obter o seguinte

1 = A x 3 + 9 A x + B x 2 + 9 B + C x 3 + D x 2 = x 3 A + C + x 2 B + D + x 9 A + 9 B

O sistema de equações surge quando notamos que para que a igualdade acima se mantenha, os coeficientes de x 3 , x 2 e x de ambos os lados da equação devem ser iguais, assim como os termos constantes. Portanto, temos que

A + C = 0

B + D = 0

9 A = 0

9 B = 1

Vamos resolver este sistema!

Passo 4

Este sistema é bem direto, saca só! Temos que B = 1 / 9 da quarta relação, temos também que A = 0 , e como A = 0 , temos que C = 0 . Da segunda equação temos que B = - D , e portanto, D = - 1 / 9 . Estes são os meus fatores! Isso já é o suficiente para dizer que todas as alternativas acima são falsas! Mas vamos seguir com a resolução da integral. Temos que a nossa fração toma a forma

1 x 2 ( x 2 + 9 ) = A x + B x 2 + C x + D x 2 + 9 = 1 9 x 2 - 1 9 ( x 2 + 9 )

E, o integrando fica então

∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 x 4 + 9 x 2 d x = ∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 9 x 2 d x - ∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 9 x 2 + 9 d x           ( 1 )

Na primeira integral não tem muito o que fazer, então vamos deixar essa por último! A segunda integral podemos ainda reescrever umas coisinhas! Saca só!

Passo 5

Vamos pegar a segunda integral

∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 9 x 2 + 9 d x

Temos que - 3 x 2 - 27 = - 3 ( x 2 + 9 ) , portanto, podemos simplificar o integrando

∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 9 x 2 + 9 d x = ∫ 0 2 4 x 3 + 6 x 9 x 2 + 9 d x - 3 9 ∫ 0 2 d x

Se escrevermos 4 x 3 + 6 x = 4 x x 2 + 6 4 = 4 x x 2 + 3 2 , e se somarmos e subtrairmos 15 2 ( 4 x ) , temos

4 x x 2 + 3 2 + 15 2 4 x - 15 2 4 x = 4 x x 2 + 3 2 + 15 2 - 30 x

Isso reduz essa relação a

4 x x 2 + 9 - 30 x

Ou seja, este integrando toma a forma

∫ 0 2 4 x 3 + 6 x 9 x 2 + 9 d x - 3 9 ∫ 0 2 d x = 4 ∫ 0 2 x d x - 30 ∫ 0 2 x x 2 + 9 d x - 3 9 ∫ 0 2 d x           ( 2 )

Vamos jogar isso tudo na equação (1).

Passo 6

Temos substituindo a equação (2) na equação (1) que

∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 9 x 2 d x - ∫ 0 2 4 x 3 - 3 x 2 + 6 x - 27 9 x 2 + 9 d x = 4 9 ∫ 0 2 x d x - 3 9 ∫ 0 2 d x + 6 9 ∫ 0 2 1 x d x - 27 9 ∫ 0 2 x - 2 d x - 4 ∫ 0 2 x d x + 30 ∫ 0 2 x x 2 + 9 d x + 3 9 ∫ 0 2 d x

Vamos juntar algumas integrais iguais, só para dar uma simplificada, temos

I = - 32 9 ∫ 0 2 x d x + 6 9 ∫ 0 2 1 x d x - 27 9 ∫ 0 2 x - 2 d x + 30 ∫ 0 2 x x 2 + 9 d x

As três primeiras integrais são identificáveis em termos de primitivas! Mas ainda precisamos dar uma mexida na última! Vem comigo!

Passo 7

Vamos fazer o seguinte, aplique a substituição u = x 2 + 9 → d u = 2 x d x , de forma que x d x = 1 2 d u , temos

∫ 0 2 x x 2 + 9 d x = 1 2 ∫ u 0 u 2 1 u d u

Com isso, todas nossas integrais são determinadas em termos de primitivas! Saca só!

Passo 8

Precisamos utilizar as seguintes fórmulas

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

∫ 1 x d x = ln ⁡ ( x ) + C  

De forma que temos

I = - 32 9 x 2 2 0 2 + 6 9 ln ⁡ x 0 2 - 27 9 - 1 x 0 2 + 15 ln ⁡ u u 0 u 2

Usando que u = x 2 + 9 , temos

I = - 32 9 x 2 2 0 2 + 6 9 ln ⁡ x 0 2 - 27 9 - 1 x 0 2 + 15 ln ⁡ x 2 + 9 0 2

Note que avaliar os limites nos levará a uma indeterminação, portanto, o valor da integral não pode ser determinado! A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho

Resposta

F F F F

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